Geometria euclidea: postulati, assiomi e teoremi degli Elementi

Euclide lavorò ad Alessandria d’Egitto, il centro intellettuale del mondo ellenistico sotto il regno di Tolomeo I, che salì al trono verso il 305 a.C. La città ospitava il Museo, insieme accademia e centro di ricerca, con annessa una biblioteca che arrivò a contenere oltre 500.000 rotoli di papiro. Le fonti antiche collocano Euclide in quel periodo: Proclo, che scrisse verso il 450 d.C., riferisce che visse “al tempo del primo Tolomeo” ed era più giovane della cerchia di Platone ma più anziano di Eratostene e Archimede. È una testimonianza tarda di alcuni secoli, non una biografia diretta, e sulla vita di Euclide restano pochissime notizie certe: alcuni storici hanno perfino dubitato che dietro il nome ci fosse un solo individuo. Oltre agli Elementi, la tradizione gli attribuisce opere su coniche, statica, musica, ottica e astronomia, non tutte giunte fino a noi.

La struttura degli Elementi

Gli Elementi sono un’opera in 13 libri. I libri da 1 a 6 trattano la geometria piana, i libri 7-9 la teoria dei numeri, il libro 10 i numeri irrazionali, gli ultimi tre (11-13) la geometria dei solidi, con poliedri e proprietà dello spazio tridimensionale. Per oltre venti secoli quest’opera ha rappresentato il modello di riferimento di ogni geometria possibile, fino alla nascita delle geometrie non euclidee nei primi decenni dell’Ottocento.

Il Libro I, quello che pone le fondamenta di tutto il resto, si apre con 23 definizioni degli oggetti geometrici di base — il punto, la retta, il piano, l’angolo — e prosegue con cinque postulati e cinque nozioni comuni. Qui la terminologia italiana va usata con attenzione: Treccani chiama “assiomi” proprio le nozioni comuni, cioè verità generali come “il tutto è maggiore della parte”, valide anche fuori dalla geometria; i “postulati” restano invece le cinque assunzioni specifiche sulle costruzioni geometriche, come “dati due punti, si può tracciare la retta che li congiunge”. I due termini non sono intercambiabili, anche se nell’uso comune capita di sentirli confusi.

I primi tre postulati riguardano costruzioni: tracciare una linea retta tra due punti, prolungare un segmento indefinitamente, descrivere un cerchio dato un centro e un raggio. Il quarto stabilisce che tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Il quinto postulato è quello che ha fatto più strada nella storia della matematica, ed è anche quello con il fraseggio più macchinoso. Nella traduzione italiana riportata da Treccani: “se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno a incontrarsi da quella parte.” In pratica: per un punto esterno a una retta data passa una sola retta parallela a quella retta. Per questo si chiama anche “assioma della parallela”, anche se — per la terminologia vista sopra — è a tutti gli effetti un postulato.

Come si dimostra un teorema con questo metodo

Dal Libro I in poi, ogni proposizione si costruisce sulle precedenti, risalendo sempre alle stesse premesse di partenza. È lo stesso impianto ipotetico-deduttivo che si ritrova, con simboli diversi, nell’algebra: anche lì si parte da regole dichiarate e si procede per passaggi controllati, invece di verificare un risultato caso per caso.

Esempio pratico: il teorema di Pitagora è dimostrato nelle proposizioni 46-48 del Libro I. La proposizione 46 costruisce il quadrato su un lato di un triangolo rettangolo, la 47 dimostra l’enunciato diretto (il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti), la 48 ne dimostra l’inverso. Tutta la catena di ragionamento risale, passo dopo passo, ai cinque postulati e alle cinque nozioni comuni iniziali.

Un secondo esempio è il teorema di Talete sull’angolo inscritto in un semicerchio, dimostrato nella proposizione 31 del Libro III: un angolo che ha il vertice su una circonferenza e i lati che passano per gli estremi di un diametro è sempre un angolo retto. Anche questo risultato, che si ripassa spesso insieme alla probabilità e alla statistica, si ricava dalle stesse premesse del Libro I, senza bisogno di misurare nulla con uno strumento.

I libri 7-9 degli Elementi, dedicati alla teoria dei numeri, mostrano che lo stesso metodo dimostrativo di Euclide non si ferma alla geometria: alcuni dei risultati su divisibilità e numeri primi anticipano questioni che poi l’aritmetica e, molti secoli dopo, l’analisi matematica riprenderanno con strumenti diversi.

Il quinto postulato e la nascita della geometria non euclidea

Per secoli il quinto postulato ha avuto una reputazione particolare: meno immediato degli altri quattro, al punto che più di un matematico ha provato a dimostrarlo come conseguenza dei primi quattro, invece di accettarlo come premessa indipendente. Nel Seicento John Wallis tentò di derivarlo dall’assunzione che esistano poligoni di grandezza diversa ma della stessa forma — un’assunzione che, si scoprì poi, richiedeva a sua volta una dimostrazione, perché era di fatto equivalente al postulato che doveva provare. Nel Settecento Girolamo Saccheri tentò una dimostrazione per assurdo, facendo discendere una lunga serie di proposizioni dalla negazione del postulato fino a raggiungerne una che dichiarò contraria “alla natura della retta”; ma quella nozione di “natura della retta” era essa stessa radicata nella geometria euclidea, e la sua conclusione presupponeva ciò che avrebbe dovuto dimostrare.

La svolta arrivò negli anni 1820, quando Nikolai Lobachevsky e János Bolyai affrontarono la questione in un modo radicalmente diverso: invece di provare a dimostrare il quinto postulato, lo negarono e costruirono un sistema geometrico coerente su quella negazione. Lobachevsky chiamò il suo sistema geometria “immaginaria”; Bolyai isolò il postulato dal resto della costruzione euclidea, chiamando “geometria assoluta” ciò che restava. Carl Friedrich Gauss lavorava sullo stesso problema fin dalla fine degli anni 1790, ma si astenne dal pubblicare per timore delle reazioni. Poiché Lobachevsky fu il primo a pubblicare, il sistema basato sulla geometria assoluta più la negazione del postulato di Euclide prende il nome di geometria lobachevskiana.

Da questa scoperta nasce quella che si chiama geometria non euclidea, un campo distinto che ha il proprio spazio di approfondimento; qui interessa soprattutto il punto di metodo: il quinto postulato non è né più né meno arbitrario degli altri quattro, ed è la scelta di trattarlo come premessa indipendente a definire la geometria euclidea. Chi studia la struttura di uno spazio in modo più generale, includendo anche più dimensioni, incontra presto concetti che l’algebra lineare formalizza con vettori e matrici invece che con riga e compasso.