Probabilità e statistica: cosa sono e come si usano insieme

Probabilità e statistica sono due materie che, nei programmi di matematica del biennio delle superiori, viaggiano quasi sempre insieme, anche se guardano l’incertezza da direzioni opposte. Come la definisce OpenStax, la statistica si occupa della raccolta, dell’analisi, dell’interpretazione e della presentazione dei dati; la probabilità, invece, è lo strumento matematico che studia la casualità, cioè quanto è possibile che un evento si verifichi. Chi lancia un dado usa la probabilità per prevedere; chi ha già registrato mille lanci usa la statistica per descrivere cosa è successo davvero.

Statistica descrittiva e statistica inferenziale

La statistica si divide in due rami. La statistica descrittiva organizza e riassume i dati già raccolti: conta, ordina, calcola medie. La statistica inferenziale, secondo OpenStax, è l’insieme dei metodi formali per trarre conclusioni da dati “buoni” (raccolti con criterio), e serve quando non è possibile osservare un intero gruppo. Per farlo servono due concetti chiave: la popolazione, cioè l’insieme di persone, cose o oggetti sotto studio, e il campione, cioè una porzione di quella popolazione selezionata per ricavarne informazioni. Un valore calcolato su tutta la popolazione si chiama parametro; lo stesso tipo di valore calcolato su un campione si chiama statistica campionaria, e viene usato per stimare il parametro corrispondente.

Un esempio concreto di statistica descrittiva pura è il censimento della popolazione: secondo l’ISTAT, al 30 giugno 2026 la popolazione residente in Italia ammontava a 58.943.673 unità. Non è una stima ricavata da un campione: è un conteggio, aggiornato periodicamente, dell’intera popolazione — il caso più semplice di statistica descrittiva applicata a un dato reale.

Le misure che riassumono un gruppo di dati

Per riassumere un insieme di numeri la statistica descrittiva usa tre misure di tendenza centrale. La media è la somma di tutti i valori divisa per il loro numero, la stessa operazione di somma e divisione che si incontra in Aritmetica applicata a un gruppo di dati invece che a due soli numeri. La mediana è il valore che sta al centro di una serie ordinata: almeno metà dei dati è minore o uguale a lei, almeno metà è maggiore o uguale. La moda, più semplicemente, è il valore che compare più spesso nella serie.

Esempio pratico: OpenStax riporta le età di 20 studenti di una classe di quinta elementare: 9, 9,5, 9,5, 10, 10, 10, 10, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11,5, 11,5, 11,5. Sommando tutte le età e dividendo per 20 si ottiene una media di 10,53 anni. Ordinando la serie, il valore centrale (la mediana) cade proprio dentro il gruppo dei “10,5”, vicinissimo alla media: un segno che in questo caso i dati sono abbastanza simmetrici, senza valori fuori scala che tirino la media da una parte.

Quando invece nella serie compaiono valori molto più alti o molto più bassi degli altri, media e mediana si allontanano. OpenStax lo mette in relazione diretta con la forma della distribuzione: la media risente degli outlier che non influenzano la mediana, per cui in una distribuzione asimmetrica verso sinistra la media è spesso minore della mediana, e in una asimmetrica verso destra la media è spesso maggiore. Per questo, quando si presenta un solo numero per descrivere un gruppo molto eterogeneo, la mediana è spesso la scelta più onesta.

Quanto sono sparsi i dati: la deviazione standard

Sapere solo la media di un gruppo di dati non basta: due classi possono avere la stessa età media e composizioni molto diverse, una con età tutte vicinissime tra loro, l’altra con bambini molto più piccoli e molto più grandi mescolati insieme. La deviazione standard è il numero che misura proprio questo: quanto, in media, i valori di una serie si allontanano dalla loro media. È piccola quando i dati sono concentrati vicino alla media, più grande quando i valori sono sparsi.

Nell’esempio delle 20 età, la deviazione standard campionaria calcolata da OpenStax è 0,72: un valore basso, coerente con un gruppo di bambini quasi tutti coetanei. La formula usa le stesse lettere e gli stessi simboli con cui si scrivono le espressioni in Algebra: s = √[Σ(x − x̄)² / (n−1)], dove x̄ è la media e n il numero di valori. Un dettaglio tecnico spiega perché si elevano al quadrato le differenze dalla media invece di sommarle così come sono: se si sommano le deviazioni dalla media senza elevarle al quadrato, il risultato è sempre zero, perché gli scostamenti positivi e negativi si annullano a vicenda.

Probabilità classica e probabilità frequentista

Anche la probabilità ha più di un modo per essere calcolata. Secondo la Stanford Encyclopedia of Philosophy, l’interpretazione classica definisce la probabilità di un evento come la frazione tra il numero di casi in cui l’evento si verifica e il numero totale di casi possibili — una formulazione che risale al matematico Abraham de Moivre, che la descriveva come la frazione con al numeratore il numero di modi in cui un evento può accadere e al denominatore il numero totale di modi in cui può accadere o fallire.

Esempio pratico: un dado a sei facce ha sei esiti possibili, tutti ugualmente probabili per simmetria dell’oggetto: l’insieme di questi esiti si chiama spazio campionario. La probabilità classica di ottenere un 4 è quindi 1 caso favorevole su 6 casi possibili, cioè 1/6. Lo stesso ragionamento vale per una moneta: due esiti possibili, testa o croce, ciascuno con probabilità 1/2.

La probabilità classica funziona bene quando gli eventi sono equiprobabili per costruzione, come le facce di un dado non truccato. Ma molti fenomeni reali non hanno questa simmetria nota in partenza: quante volte si guasta un macchinario in un anno non si può calcolare dividendo casi favorevoli per casi possibili. Qui entra la probabilità frequentista, definita dalla Stanford Encyclopedia of Philosophy come la frequenza relativa con cui un attributo si presenta effettivamente in una classe di riferimento: si osserva l’evento molte volte e si calcola quante volte, in proporzione, si è verificato. Più avanti nel percorso di matematica, quando queste frequenze osservate diventano distribuzioni continue da studiare con funzioni e limiti, ci si sposta già nel territorio dell’Analisi matematica.

Eventi indipendenti e la gambler’s fallacy

Due eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi dell’uno non cambia la probabilità che si verifichi l’altro. Statistics LibreTexts definisce così l’indipendenza, ed è proprio questa proprietà a smontare uno degli errori più comuni legati al gioco d’azzardo.

Esempio pratico: dopo cinque lanci di moneta consecutivi usciti tutti testa, molti pensano che al sesto lancio sia “più probabile” che esca croce, come se la moneta dovesse riequilibrare la sequenza. Statistics LibreTexts chiama questo ragionamento gambler’s fallacy: chi ci crede immagina un aggiustamento naturale che compensi una serie di teste con più croci in seguito. Ma la moneta non ha memoria dei lanci precedenti: al sesto lancio la probabilità di testa resta 1/2, esattamente come al primo.

C’è un’osservazione che genera confusione ma va tenuta distinta da questo errore: su un numero molto grande di lanci, la proporzione di teste tende effettivamente ad avvicinarsi al 50%. Questo però non significa che i lanci passati influenzino quelli futuri: significa solo che, spalmato su moltissime prove indipendenti, ogni singolo lancio “raro” (tante teste di fila) pesa sempre meno sulla proporzione finale. La differenza è sottile ma precisa: nessun singolo lancio “si aggiusta”, è la media su tantissimi lanci a stabilizzarsi da sola.