Geometria non euclidea: iperbolica ed ellittica a confronto

Un postulato che nessuno riusciva a togliere di mezzo

Euclide, nei suoi Elementi (circa 300 a.C.), costruì la geometria su cinque postulati: affermazioni assunte come vere senza bisogno di dimostrazione, punto di partenza per dedurre tutto il resto per via logica. Un teorema, al contrario, è una proposizione che va dimostrata a partire dai postulati: la differenza non è di importanza, ma di ruolo nella costruzione del sistema. Secondo MacTutor History of Mathematics, il quinto postulato, quello sulle rette parallele, era diverso dagli altri quattro fin da subito, e lo stesso Euclide ne evitò l’uso il più a lungo possibile nei suoi libri.

La formulazione originale è complessa da leggere oggi: se una retta che taglia altre due rette forma, da un lato, angoli interni che sommano meno di due angoli retti, allora quelle due rette, prolungate abbastanza, finiscono per incontrarsi proprio da quel lato. Detto altrimenti: per un punto esterno a una retta data passa una e una sola parallela. È l’idea che a scuola si impara come ovvia. Per oltre duemila anni, i matematici hanno sospettato che non fosse un vero postulato ma un teorema mascherato, qualcosa che si potesse dedurre dagli altri quattro, e hanno provato a dimostrarlo.

I tentativi si sono susseguiti per secoli, e sono quasi tutti falliti allo stesso modo: chi credeva di aver dimostrato il postulato aveva in realtà usato, da qualche parte nella dimostrazione, un’assunzione equivalente al postulato stesso. John Wallis, nel 1663, lo ridusse a un’altra forma invece di dedurlo davvero. Girolamo Saccheri, nel 1697, provò la strada opposta: assunse che il postulato fosse falso, sperando di arrivare a una contraddizione logica che lo avrebbe dimostrato vero per assurdo, ma la conclusione a cui arrivò gli sembrò solo “ripugnante alla natura della retta”, non una vera contraddizione. Johann Heinrich Lambert, nel 1766, seguì lo stesso metodo di Saccheri senza cadere nel suo errore logico, ma senza arrivare a una conclusione definitiva. Adrien-Marie Legendre, secondo MacTutor, vi dedicò quarant’anni della propria vita. Jean le Rond D’Alembert, nel 1767, arrivò a definire il problema delle parallele come lo scandalo della geometria elementare.

Due geometrie nuove, scoperte quasi insieme

La svolta arrivò quando qualcuno smise di cercare di dimostrare il postulato e provò invece a negarlo, per vedere cosa succedeva. János Bolyai, matematico ungherese, e Nikolaj Lobachevsky, matematico russo, arrivarono indipendentemente alla stessa idea negli anni 1820: se si toglie il quinto postulato e si lascia il resto della geometria euclidea intatto, il sistema che ne risulta non è contraddittorio. È una geometria diversa, non un errore.

Bolyai scrisse al padre nel 1823 di aver fatto una scoperta straordinaria, e pubblicò i suoi risultati come appendice di sole 24 pagine a un libro del padre stesso. Carl Friedrich Gauss, che aveva lavorato in privato sullo stesso problema fin dagli anni 1790 senza mai pubblicarlo, per timore, secondo la Stanford Encyclopedia of Philosophy, dello scandalo, descrisse Bolyai come “un geometra di primo ordine”. Lobachevsky arrivò a risultati equivalenti per una strada indipendente e li pubblicò per primo, nel 1829, sul Kazan Messenger, una rivista poco conosciuta fuori dalla Russia; un suo lavoro successivo fu persino rifiutato dall’Accademia di San Pietroburgo. Per questo la geometria che nasce negando il quinto postulato euclideo si chiama anche geometria di Lobachevsky, più comunemente geometria iperbolica o una delle geometrie non euclidee. Lobachevsky non fece in tempo a vederla riconosciuta: morì nel 1856, e l’accettazione della comunità matematica arrivò solo tra il 1866 e il 1887, grazie a traduzioni e ai seminari di matematici come Felix Klein.

Nella geometria iperbolica, per un punto esterno a una retta data passano almeno due parallele, non una sola: è il postulato alternativo formulato da Lobachevsky. Una conseguenza diretta riguarda i triangoli: la somma dei loro angoli interni è sempre minore di 180°, e più il triangolo è grande, più quella somma si allontana da 180°.

Esempio pratico: dal 1997 la matematica Daina Taimina, allora alla Cornell University, usa l’uncinetto per dare forma al piano iperbolico. L’idea le venne dopo aver visto, in un seminario di geometria, dei modelli di carta così fragili da rompersi al primo tocco; nella sua Lettonia natale aveva imparato l’uncinetto insieme alle materie scolastiche, e riconobbe in quella tecnica un modo per rendere lo spazio curvo qualcosa da toccare, non solo da immaginare. Come ha raccontato lei stessa, in quel mondo l’intuizione può ingannare: un piano euclideo piatto non prepara a uno spazio dove le linee più dritte possibile si allontanano tra loro sempre più in fretta.

Riemann e la geometria senza parallele

Bernhard Riemann prese la strada opposta. Nella sua lezione di abilitazione all’Università di Göttingen, tenuta il 10 giugno 1854 e intitolata Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, discusse una geometria in cui non esiste nessuna parallela: ogni retta che passa per un punto esterno a una retta data la incontra comunque. La lezione non fu pubblicata fino al 1868, due anni dopo la morte di Riemann, e secondo MacTutor non venne pienamente compresa fino a circa sessant’anni più tardi.

Nella geometria ellittica, questo il nome che ha preso l’approccio riemanniano, la somma degli angoli di un triangolo è sempre maggiore di 180°.

Nel 1871 Felix Klein completò il lavoro che Eugenio Beltrami aveva iniziato tre anni prima con il primo modello concreto della geometria iperbolica, la pseudosfera, una superficie ottenuta facendo ruotare una curva chiamata trattrice. Klein, basandosi su una definizione di distanza proposta da Arthur Cayley nel 1859, dimostrò che esistono tre geometrie fondamentalmente diverse e ugualmente coerenti al loro interno.

Ecco come si distinguono, punto per punto:

La geometria euclidea resta il caso particolare, quello a curvatura zero, lo spazio “piatto” che si studia per primo a scuola, dentro una famiglia più ampia di geometrie ugualmente valide.

Anche un’incisione può mostrare questo spazio. Tra il 1958 e il 1960 l’artista Maurits Cornelis Escher realizzò la serie Circle Limit, basata sulla geometria iperbolica. Il termine “non euclideo” ha lasciato un segno anche nella narrativa: H.P. Lovecraft lo usa per descrivere le architetture aliene dei suoi racconti, un uso diverso da quello matematico rigoroso.

Esempio pratico: in Circle Limit I i pesci sembrano rimpicciolirsi man mano che si avvicinano al bordo del disco. Nello spazio iperbolico reale, però, quei pesci avrebbero tutti la stessa dimensione e la stessa forma: quello che si vede è un effetto della proiezione usata per rappresentare su un foglio piatto uno spazio che piatto non è. Le linee “rette” del disegno, le geodetiche della geometria iperbolica, sono le linee che passano per il centro del disco oppure gli archi di cerchio che incontrano il bordo con un angolo di 90°.

Da una lezione di matematica alla teoria della gravità

Per decenni la geometria di Riemann restò un capitolo di matematica pura, lontano da qualunque applicazione visibile. Le cose cambiarono con Albert Einstein. Nel 1915, mentre lavorava alla relatività generale, il matematico Marcel Grossmann gli fece conoscere le idee di Riemann sulla geometria differenziale: erano proprio lo strumento che gli serviva per completare la teoria, quello stesso anno. Nel linguaggio matematico messo a punto da Riemann nel 1854, con l’aiuto del calcolo differenziale assoluto sviluppato più tardi da Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita, lo spaziotempo è uno spazio curvo, e la sua curvatura equivale a un campo gravitazionale: più massa ed energia sono presenti in una regione, più quella regione si incurva.

Riemann costruì la sua geometria sugli strumenti dell’analisi matematica, la disciplina che descrive in modo preciso come varia una quantità: senza il calcolo differenziale, l’idea di curvatura di uno spazio a più dimensioni non avrebbe avuto una definizione precisa da usare.

Le tre geometrie convivono, ciascuna coerente al suo interno. La fisica sceglie quella che meglio descrive lo spazio che sta studiando.