Geometria dei solidi: formule e proprietà

Cos’è un solido

Un solido, secondo la voce che Treccani dedica al termine nell’Enciclopedia della Matematica, è una figura tridimensionale dello spazio ordinario, costituita da un insieme chiuso e limitato di punti. Il confine di questa figura è la sua superficie: può essere piana, curva o mista, a seconda del solido. Quando la superficie è formata interamente da poligoni, uniti lungo gli spigoli, il solido prende il nome di poliedro.

Il volume di un solido è la misura intuitiva dello spazio che occupa. Per calcolarlo servono formule che mettono in relazione il volume con le misure di alcuni elementi caratteristici del solido — spigoli, altezze, raggi — diverse per ogni tipo di figura. La geometria dei solidi lavora con gli stessi strumenti di base della geometria euclidea: punti, rette e piani, applicati però a uno spazio a tre dimensioni invece che a un foglio.

Poliedri e i cinque solidi platonici

Un poliedro è, secondo Wolfram MathWorld, un solido tridimensionale composto da una collezione di poligoni uniti lungo i loro spigoli. Alcuni poliedri sono regolari: lo sono quando le loro facce e le loro figure di vertice sono poligoni regolari, cioè quando facce e vertici sono entrambi equivalenti fra loro.

I poliedri regolari convessi sono esattamente cinque, i cosiddetti solidi platonici: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro. Aggiungendo le loro controparti concave e stellate, i quattro poliedri di Keplero-Poinsot, il totale dei poliedri regolari sale a nove.

Tra i poliedri più comuni nella pratica ci sono anche figure non regolari ma altrettanto utili: il parallelepipedo rettangolo (una scatola con tre coppie di facce rettangolari opposte), il prisma (due basi poligonali congruenti e parallele, unite da facce laterali) e la piramide (una base poligonale e facce triangolari che convergono in un unico vertice, l’apice).

Le formule di superficie e volume dei poliedri

Le formule si scrivono con lettere al posto dei numeri — lo stesso calcolo letterale che sta al centro dell’algebra — perché devono valere per qualunque misura dello stesso tipo di solido.

Solido	Superficie	Volume
Cubo (spigolo a)	S = 6a²	V = a³
Parallelepipedo rettangolo (spigoli a, b, c)	S = 2(ab + bc + ca)	V = abc
Prisma retto (area di base A, perimetro di base p, altezza h)	laterale = p × h	V = A × h
Piramide retta (area di base A, perimetro di base p, apotema a, altezza h)	laterale = (p × a) / 2	V = (A × h) / 3

Due cose valgono per l’intera tabella. La prima: prisma e cilindro condividono la stessa logica di calcolo del volume, area di base moltiplicata per l’altezza, perché la sezione del solido resta identica dal basso in alto. La seconda: piramide e cono dimezzano quella logica fino a un terzo, perché la sezione si restringe man mano che ci si avvicina all’apice — Wolfram MathWorld nota che questo vale per qualunque forma della base, dato che l’area di una sezione trasversale scala in modo quadratico con l’altezza.

La superficie laterale del prisma, perimetro di base moltiplicato per l’altezza, è la stessa regola che si applica anche al cilindro (vedi sotto): entrambi i solidi hanno una superficie laterale che “srotolata” diventa un rettangolo.

Cilindro, cono e sfera: i solidi di rotazione

Cilindro, cono e sfera non sono poliedri: le loro superfici sono curve, non fatte di poligoni. Si chiamano solidi di rotazione perché si ottengono facendo ruotare una figura piana di 360 gradi attorno a una retta, detta asse di rotazione. Un rettangolo che ruota attorno a un suo lato genera un cilindro; un triangolo rettangolo che ruota attorno a un cateto genera un cono; un semicerchio che ruota attorno al proprio diametro genera una sfera.

Questo Recap si ferma alla definizione e alle formule dei tre solidi di rotazione più comuni. Il calcolo del volume di un solido di rotazione generico, ottenuto ruotando una curva qualsiasi anziché una figura elementare, è un problema che appartiene all’analisi matematica.

Le formule di superficie e volume dei solidi di rotazione

Solido	Superficie	Volume
Cilindro (raggio r, altezza h)	laterale = 2πrh · totale = 2πr(r+h)	V = πr²h
Cono (raggio r, altezza h, apotema a = √(r²+h²))	laterale = πra · totale = πr(r+a)	V = (πr²h) / 3
Sfera (raggio r)	S = 4πr²	V = (4/3)πr³

Le formule di cilindro, cono e sfera compaiono, con la stessa forma, sia su Wolfram MathWorld sia sul formulario di geometria solida di Math.it: due fonti indipendenti che si confermano a vicenda. Le formule della sfera, in particolare, hanno una storia lunga: secondo MathWorld, superficie e volume della sfera furono ricavati per la prima volta da Archimede nell’opera Sulla sfera e sul cilindro, intorno al 225 a.C.

Esempio pratico: Un cilindro ha raggio di base 3 cm e altezza 7 cm. Il volume si calcola con V = πr²h: 3² fa 9, 9 per 7 fa 63, quindi V = 63π cm³, circa 197,9 cm³ usando π ≈ 3,14159 — le stesse moltiplicazioni dell’aritmetica applicate a un solido invece che a numeri isolati. La superficie laterale, invece, è 2πrh: 2 per π per 3 per 7 fa 42π cm², circa 131,9 cm².

Figure piane e figure solide: la differenza

La geometria piana, secondo la definizione che ne dà Treccani, è il settore della geometria che studia le proprietà delle figure definite in un ordinario spazio euclideo di due dimensioni: triangoli, quadrilateri, cerchi e le altre figure che si disegnano su un foglio. La geometria dei solidi si colloca, per simmetria, nello spazio euclideo a tre dimensioni: aggiunge la profondità, e con essa una superficie da misurare oltre a un volume (lo spazio che occupa).

Le figure piane e le figure solide non sono in competizione: sono spesso la stessa figura vista da un numero diverso di dimensioni. Un quadrato è una figura piana; sei quadrati uguali uniti lungo gli spigoli formano un cubo, un poliedro. Un cerchio è una figura piana; un cerchio che scorre lungo un asse, per l’altezza di un cilindro, genera un solido di rotazione. Riconoscere se un problema riguarda una figura piana o un solido è il primo passo per scegliere la formula giusta: le formule di area (in due dimensioni) e quelle di superficie e volume (in tre) non sono intercambiabili.