Aritmetica: cos'è e quali sono i suoi fondamenti

Cos’è l’aritmetica

L’aritmetica è la parte della matematica che studia i numeri e le proprietà che li riguardano, in particolare i numeri naturali. Secondo la voce che l’Enciclopedia della Matematica Treccani dedica al tema, è nell’aritmetica che si trovano gli oggetti che stanno alle fondamenta dell’intero edificio matematico: da qui nascono domande sulla coerenza e sul significato stesso della disciplina, oltre ai calcoli quotidiani.

Storicamente, secondo Treccani l’aritmetica prende una forma propria già con Pitagora, tra il V e il IV secolo a.C. Circa un secolo dopo, Euclide dedica tre dei tredici libri dei suoi Elementi (i libri VII-IX) ai numeri interi. Il passaggio verso l’algebra, la disciplina che generalizza i numeri con le lettere, si vede nel III secolo d.C. con Diofanto di Alessandria; nel 1202 Fibonacci introduce in Europa, con il Liber abaci, la notazione posizionale dei numeri — nello stesso libro compare anche la sequenza di Fibonacci, il caso più noto di successione numerica generata per ricorsione. I fondamenti formali dell’aritmetica, quelli che la rendono un sistema coerente e non solo un insieme di regole pratiche, arrivano molto più tardi, tra il XIX e il XX secolo, con il lavoro di Dedekind, Cantor e Gödel.

Gli insiemi numerici: da N a R

I numeri con cui si lavora in aritmetica non formano un blocco unico, ma una serie di insiemi via via più ampi, ciascuno contenuto nel successivo.

I numeri naturali, indicati con N, sono quelli che si usano per contare. Qui c’è un punto su cui i testi non concordano del tutto: secondo Treccani, in letteratura N a volte non comprende lo zero (N = {1, 2, 3…}) e a volte lo comprende (N = {0, 1, 2, 3…}); anche la voce «Natural Number» di Wolfram MathWorld conferma che non esiste un accordo generale su questo punto. Nessuna delle due convenzioni è sbagliata: sono due modi diversi di fissare lo stesso punto di partenza.

Aggiungendo i numeri negativi si arriva ai numeri interi, indicati con Z: Z = {0, +1, -1, +2, -2…}. Allargando ancora, ai numeri razionali (Q), si arriva ai numeri esprimibili come frazione p/q, con p e q interi e q diverso da zero — la definizione usata sia da Treccani sia da Wolfram MathWorld. Q ha una proprietà che lo distingue da Z: è denso, cioè tra due numeri razionali qualsiasi ne esistono sempre altri infiniti, anch’essi razionali.

Ci sono però numeri che non si possono scrivere come frazione di due interi: sono i numeri irrazionali, quelli che mancano ai razionali per formare un sistema continuo. Il caso più noto è la radice quadrata di 2, il cui sviluppo decimale, secondo Wolfram MathWorld, non termina mai e non diventa periodico. Una leggenda tramandata narra che il filosofo pitagorico Ippaso ne dimostrò l’irrazionalità con un metodo geometrico mentre era in mare, e per questo fu gettato in acqua dai compagni pitagorici: la fonte stessa la presenta come leggenda, non come fatto storico accertato. Altre dimostrazioni di irrazionalità sono invece datate con precisione: quella di e è di Eulero, nel 1737, e quella di π è di Lambert, nel 1760.

Unendo razionali e irrazionali si ottiene l’insieme dei numeri reali, R: un campo totalmente ordinato e continuo, dove ogni sezione di Q individua un numero reale unico. La relazione tra tutti questi insiemi è di inclusione, uno dentro l’altro: N è contenuto in Z, che è contenuto in Q, che è contenuto in R — lo schema completo di queste inclusioni, coi simboli e un esempio per ciascun insieme, è nel Recap dedicato agli insiemi numerici.

Esempio pratico: un conto in banca usa già tre di questi insiemi. Il numero di monete che tieni in tasca è un naturale; il saldo del conto, che può andare in rosso, è un intero; la rata di un prestito divisa in comode quote, come 350,75 euro, è un razionale.

Le operazioni fondamentali e le loro proprietà

L’aritmetica si fonda su quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Addizione e moltiplicazione seguono alcune regole precise, verificabili per qualsiasi numero reale: la proprietà commutativa, per cui a+b = b+a e a·b = b·a, e la proprietà associativa, per cui (a+b)+c = a+(b+c) e (a·b)·c = a·(b·c). A queste si aggiunge la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: a·(b+c) = a·b + a·c.

Sottrazione e divisione non hanno le stesse proprietà: cambiare l’ordine dei termini o il modo di raggrupparli cambia il risultato. 7 meno 3 non è uguale a 3 meno 7, e lo stesso vale per la divisione. È un punto su cui si fa confusione spesso, perché si tende a estendere alle quattro operazioni regole che valgono solo per due di esse.

Ci sono infine due numeri con un ruolo speciale, gli elementi neutri: lo zero per l’addizione (a+0 = a, per ogni numero a) e l’uno per la moltiplicazione (a·1 = a, per ogni numero a).

Primi passi di teoria dei numeri

Dentro l’aritmetica si apre un capitolo dedicato alle proprietà profonde dei numeri interi: la teoria dei numeri. Il concetto di base è quello di numero primo: un intero positivo maggiore di 1 che non ha divisori positivi diversi da 1 e da se stesso. I numeri interi maggiori di 1 che non sono primi si chiamano numeri composti.

Il crivello di Eratostene

Per costruire tabelle di numeri primi si usa da secoli un procedimento chiamato crivello di Eratostene, dal nome del matematico e astronomo greco Eratostene, vissuto tra il 276 e il 194 a.C. circa — quindi nel III secolo a.C. Il metodo, descritto da Wolfram MathWorld, funziona così: si scrivono in ordine i numeri da 2 fino al limite scelto, poi si eliminano tutti i multipli di 2 (tranne il 2 stesso); tra i numeri rimasti, si prende il più piccolo non ancora eliminato e se ne eliminano tutti i multipli, e così via, fermandosi quando si arriva alla radice quadrata del limite scelto. I numeri che restano, alla fine, sono tutti primi. Secondo MacTutor, il crivello di Eratostene, in forma modificata, resta uno strumento usato nella ricerca sulla teoria dei numeri.

L’aritmetica modulare, in breve

Un capitolo dell’aritmetica lavora non sul risultato intero di una divisione, ma sul suo resto: è l’aritmetica modulare. Il modello più semplice per capirla è l’orologio: dopo le 12 ore, il conteggio non prosegue a 13, 14, 15, ma ricomincia da 1; quello che conta, in questo sistema, non è il numero totale di ore trascorse ma il resto della divisione per 12. È lo stesso principio applicato a qualsiasi numero al posto di 12.

Rapporti e proporzioni

Un rapporto tra due numeri r e s si scrive r/s ed equivale al loro quoziente, come indicato da Wolfram MathWorld; secondo Treccani, il rapporto tra due grandezze omogenee A e B misura la prima rispetto alla seconda, presa come unità.

Quando due rapporti sono uguali si parla di proporzione, scritta nella forma a : b = c : d e letta «a sta a b come c sta a d». I quattro numeri hanno nomi precisi: a e c sono gli antecedenti (i numeratori dei rapporti), b e d sono i conseguenti (i denominatori); b e c sono i medi, a e d sono gli estremi. La proprietà fondamentale delle proporzioni dice che il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi: se a : b = c : d, allora a·d = b·c.

Esempio pratico: una ricetta per 4 persone usa 200 grammi di farina. Per farla per 6 persone si imposta la proporzione 4 : 200 = 6 : x. Per la proprietà fondamentale, 4·x = 200·6, quindi x = 1.200 / 4 = 300 grammi di farina.