Algebra: cos'è e come funziona il calcolo letterale

Da dove viene la parola «algebra»

Il nome arriva dall’arabo al-jabr, usato in senso matematico per la prima volta da Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, matematico attivo a Baghdad nel IX secolo, presso la Casa della Saggezza, sotto il patrocinio del califfo Al-Mamun (diventato califfo nell’813). Nel suo trattato, dedicato al calcolo letterale e alla teoria delle equazioni, al-jabr indicava un’operazione tecnica precisa: il “completamento”, cioè lo spostamento di un termine da una parte all’altra di un’uguaglianza, con il cambio di segno che questo comporta. È lo stesso gesto che si fa ancora oggi risolvendo x + 3 = 7, portando il 3 dall’altra parte come −3.

Il titolo di “padre dell’algebra” resta comunque un tema discusso tra gli storici. Secondo lo storico Gandz, al-Khwarizmi avrebbe più diritto a questo titolo del matematico greco Diofanto, perché fu tra i primi a trattare l’algebra come disciplina a sé, indipendente dalla teoria dei numeri in cui Diofanto la inquadrava.

Dal nome dello stesso al-Khwarizmi, storpiato attraverso il latino medievale, deriva anche la parola algoritmo: le procedure passo passo che fanno funzionare i computer.

Il calcolo letterale, cioè le lettere al posto dei numeri

Il calcolo letterale è il complesso di regole e procedure che usano lettere dell’alfabeto per rappresentare numeri generici. Poiché una lettera come a o b può valere qualsiasi numero appartenente a un certo insieme, le proprietà e le regole che si ricavano con il calcolo letterale hanno validità generale: restano vere per ogni valore numerico che le variabili possono assumere.

Esempio pratico: la proprietà distributiva si scrive a · (b + c) = a · b + a · c. Non importa quali numeri si scelgano per a, b e c — provando con 2, 3 e 4 si ottiene 2 · (3 + 4) = 14 e 2 · 3 + 2 · 4 = 14 — la regola resta vera. È proprio questo il senso del calcolo letterale: una scrittura sola che funziona per infiniti calcoli, non un risultato che vale una volta.

Il calcolo letterale è ciò che caratterizza l’algebra ed è usato in ogni settore della matematica: è il linguaggio con cui l’algebra classica studia in particolare la teoria delle equazioni, cioè l’insieme di regole per risolvere equazioni o sistemi di equazioni in una o più incognite.

Aritmetica e algebra: dove comincia la differenza

L’aritmetica lavora con numeri fissi e già conosciuti: 3 + 5 ha un solo risultato possibile, e resta quello. L’algebra introduce, attraverso il calcolo letterale, un modo più generale di rappresentare i numeri: le operazioni fondamentali dell’aritmetica vengono trattate usando lettere al posto dei numeri, il che permette di arrivare a soluzioni indipendenti dal caso particolare considerato.

Detto in un’altra forma: l’algebra comincia dove finisce l’aritmetica.

Equazioni, geometria analitica e trigonometria: dopo il calcolo letterale

Il calcolo letterale è la base su cui poggiano diversi rami della matematica che meritano ciascuno un Recap dedicato. Lo studio delle equazioni usa il calcolo letterale per trovare il valore di una o più incognite. La geometria analitica applica le stesse lettere e le stesse regole a punti, rette e figure, descrivendoli con coordinate numeriche. La trigonometria, infine, usa formule letterali per collegare angoli e lati dei triangoli. Sono tre applicazioni diverse dello stesso strumento, non tre matematiche separate.

Anche fuori dalla matematica pura, il calcolo letterale è il linguaggio con cui si scrivono le leggi della fisica: le tre leggi di Newton, per esempio, si esprimono con formule algebriche come F = m · a, dove le lettere rappresentano forza, massa e accelerazione qualsiasi, non un caso specifico. Lo stesso linguaggio lavora anche dentro il machine learning: un modello impara aggiornando lettere che rappresentano i suoi parametri, non numeri fissati in anticipo.

Algebra elementare e algebra astratta

Quella descritta finora è l’algebra elementare, la stessa che si studia a scuola: numeri, lettere, equazioni. Uno sviluppo e una generalizzazione del calcolo letterale è invece l’algebra astratta, che analizza più in dettaglio gli ambienti — insiemi di numeri o di altri oggetti — in cui vengono poste come assiomi le leggi generali delle operazioni. È un livello di studio successivo, tipicamente universitario, e resta fuori dal perimetro di questo Recap.