Algebra lineare: cos'è e quali sono i suoi concetti fondamentali

Che cos’è l’algebra lineare

Secondo la voce «Algebra lineare» dell’Enciclopedia della Matematica Treccani, la disciplina ha come oggetto di studio i sistemi di equazioni lineari, le matrici e i loro determinanti. La stessa voce estende poi la definizione, in senso più ampio, agli spazi vettoriali (detti anche spazi lineari) e alle applicazioni lineari tra essi.

Wolfram MathWorld la descrive in modo simile, come lo studio dei sistemi lineari di equazioni e delle loro proprietà di trasformazione. La stessa voce fa notare una curiosità terminologica: nel senso tecnico più stretto, un’«algebra» è una struttura con una propria moltiplicazione interna, e uno spazio vettoriale qualunque non la possiede di per sé, quindi il nome «algebra lineare», applicato all’intera disciplina, è un po’ fuorviante rispetto al significato tecnico del termine.

Per chi arriva da un percorso di algebra e di aritmetica, l’algebra lineare non introduce un tipo nuovo di calcolo quanto un insieme di oggetti nuovi — vettori, matrici, spazi vettoriali — su cui applicare regole di calcolo per molti versi familiari.

Vettori, matrici e spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi, i vettori, su cui sono definite due operazioni: la somma tra vettori e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare, cioè un numero. Giuseppe Peano diede la prima definizione assiomatica di spazio vettoriale reale nel 1888, partendo dal lavoro di Hermann Grassmann, che nel 1844 aveva pubblicato Die lineale Ausdehnungslehre (Teoria dell’estensione lineare), il testo a cui si fa risalire l’origine della disciplina.

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri. Il termine fu coniato nel 1850 dal matematico inglese Sylvester, che la descrisse come una disposizione oblunga di termini; la prima definizione astratta di matrice, insieme alla prima dimostrazione del teorema di Cayley-Hamilton per matrici 2×2, si trova nel Memoir on the theory of matrices di Arthur Cayley, del 1858. Il calcolo con le matrici — somma, prodotto, calcolo del determinante — costituisce, secondo Treccani, una sottoteoria dentro l’algebra lineare più generale.

Sistemi lineari e l’eliminazione di Gauss

Un sistema di equazioni lineari in più incognite si scrive in forma compatta come Ax = b, dove A è la matrice dei coefficienti, x il vettore delle incognite e b il vettore dei termini noti. MathWorld nota che, sebbene l’equazione si possa risolvere in linea di principio invertendo la matrice (x = A⁻¹b), l’eliminazione di Gauss resta il metodo numericamente più robusto per trovare x nella pratica del calcolo.

Procedimenti di questo tipo sono più antichi del nome con cui li conosciamo. Nel testo cinese Nove capitoli sull’arte matematica, databile secondo la letteratura storica attorno al II secolo a.C., compare quello che MacTutor descrive come il primo esempio noto di metodi matriciali: l’autore istruisce il lettore a moltiplicare una colonna di coefficienti per un fattore e a sottrarla da un’altra colonna, un procedimento per eliminare le incognite una alla volta che anticipa, nella sostanza, l’eliminazione di Gauss. In Europa, Gottfried Leibniz sviluppò nel 1693 una notazione a doppio indice per i sistemi di equazioni, precursore della notazione dei determinanti; Gabriel Cramer descrisse nel 1750 il metodo poi noto come regola di Cramer, che esprime ogni incognita come una frazione di determinanti. Carl Friedrich Gauss introdusse il termine «determinante» nelle Disquisitiones Arithmeticae del 1801; anni dopo, lavorando al calcolo dell’orbita dell’asteroide Pallas a partire da osservazioni raccolte tra il 1803 e il 1809, risolse un sistema di sei equazioni lineari in sei incognite usando lo stesso procedimento di eliminazione che porta oggi il suo nome.

Esempio pratico: un sistema Ax = b compare ogni volta che più grandezze sono legate da più equazioni simultanee — per esempio un circuito elettrico con più maglie, dove le correnti incognite si trovano risolvendo insieme le equazioni di Kirchhoff scritte in forma matriciale.

Trasformazioni lineari, autovalori e autovettori

Un’applicazione (o trasformazione) lineare è una funzione tra spazi vettoriali che rispetta le due operazioni fondamentali dello spazio: la trasformazione della somma di due vettori è uguale alla somma delle loro trasformazioni, e lo stesso vale per la moltiplicazione per uno scalare. Le trasformazioni lineari e la loro rappresentazione tramite matrici sono, insieme alla dipendenza lineare, tra i concetti centrali richiamati dalla voce Treccani.

Un caso particolare, ma centrale, è quello degli autovalori e degli autovettori. Dati una matrice quadrata A e un vettore X diverso da zero, se esiste uno scalare λ tale che AX = λX, allora λ si chiama autovalore di A e X il corrispondente autovettore. Gli autovalori si trovano risolvendo l’equazione caratteristica det(A - λI) = 0, dove I è la matrice identità; MathWorld nota che, per matrici simmetriche, autovettori associati ad autovalori distinti sono sempre ortogonali tra loro.

MathWorld collega la ricerca di autovalori e autovettori alla diagonalizzazione di una matrice, un calcolo che ricorre in applicazioni concrete come l’analisi di stabilità di un sistema, la fisica dei corpi in rotazione e lo studio delle piccole oscillazioni nei sistemi vibranti.

Algebra lineare e geometria

Treccani segnala che l’algebra lineare è largamente usata, oltre che nell’algebra astratta e nell’analisi matematica funzionale, ancor più nella geometria. Il legame ha radici storiche precise: nel 1827 Möbius pubblicò Der barycentrische Calcul, un libro di geometria che studia le trasformazioni di rette e coniche; nel 1832 Bellavitis definì «equipollenti» due segmenti uguali e paralleli, un’idea che MacTutor descrive come, nella sostanza, uno spazio vettoriale. Hamilton diede nel 1843 un esempio importante di spazio vettoriale a quattro dimensioni con i suoi quaternioni.

Vettori, matrici e trasformazioni lineari sono gli strumenti con cui si descrivono rotazioni, proiezioni e cambi di sistema di coordinate nello spazio. Molti corsi universitari insegnano le due materie insieme, sotto il nome di geometria e algebra lineare.

Una storia lunga più di duemila anni

Le origini remote dell’algebra lineare si perdono tra la Cina antica e l’Europa del Seicento e del Settecento; la sua formalizzazione moderna, invece, si concentra in pochi decenni dell’Ottocento. Cayley introdusse le algebre di matrici nel 1857, aprendo la strada a sistemi algebrici più astratti; l’anno dopo, nel 1858, pubblicò la prima definizione astratta di matrice. Grassmann aveva già pubblicato nel 1844 i concetti di spazio e combinazione lineare, sebbene MacTutor descriva il suo testo come molto difficile da leggere e osservi che, alla pubblicazione, non incontrò il favore dei matematici. Fu Peano, nel 1888, a dargli una veste assiomatica rigorosa.

Anche il concetto stesso di vettore ha radici che precedono l’Ottocento: MacTutor rintraccia i primi passi dell’idea a inizio Ottocento, nel lavoro di Bernard Bolzano.

Dove si usa

Le applicazioni dell’algebra lineare vanno ben oltre la matematica pura. Encyclopaedia Britannica elenca, tra gli usi della moltiplicazione tra matrici, il tracciamento di grafici, il rendering di immagini, l’analisi di circuiti elettrici, la guida di robot, lo sviluppo di scansioni mediche, la cifratura di messaggi, la comunicazione elettronica e l’analisi statistica — campi molto diversi tra loro, dall’ingegneria all’informatica fino alla probabilità e alla statistica.

Il corso 18.06 del MIT, tenuto da Gilbert Strang, riassume lo scheletro della materia con sei argomenti fondamentali: sistemi di equazioni, spazi vettoriali, determinanti, autovalori, similarità tra matrici e matrici definite positive — lo stesso nucleo di concetti descritto in questo Recap, dai sistemi lineari agli autovalori. Chi prosegue negli studi incontra poi l’analisi matematica, che usa le stesse funzioni scritte con gli strumenti dell’algebra lineare per studiare limiti, derivate e integrali.