Analisi matematica: cos'è e come funziona

Che cos’è l’analisi matematica

Secondo la voce «Analisi matematica» dell’Enciclopedia della Matematica Treccani, la disciplina è il settore che studia le funzioni definite su insiemi di numeri reali o complessi. Attorno a questa definizione si organizzano poche nozioni centrali — limite, derivata, integrale, serie, equazioni differenziali — che si costruiscono una sull’altra: prima la funzione, poi il limite, poi la continuità, poi la derivata, infine l’integrale.

La stessa voce distingue due branche principali: l’analisi reale, che studia funzioni reali di variabile reale, e l’analisi complessa, che studia funzioni di variabile complessa. Attorno a queste si aggiungono campi più specialistici — analisi armonica, analisi non standard, teoria della misura, analisi funzionale, equazioni differenziali — che restano fuori dal perimetro di questo Recap: qui ci si ferma al nucleo, quello che in origine si chiamava analisi infinitesimale e che nell’uso corrente prende più spesso il nome di calcolo infinitesimale, o semplicemente calcolo.

Per chi arriva da un percorso di algebra e di aritmetica, l’analisi matematica non è un campo separato quanto un passo ulteriore: le funzioni si scrivono e si manipolano con le stesse regole del calcolo letterale, ma lo scopo cambia, perché non si tratta più di risolvere un’equazione, bensì di descrivere come una quantità cambia o si accumula.

Le funzioni, il punto di partenza

Wolfram MathWorld definisce una funzione come una corrispondenza f da un insieme A, il dominio, a un insieme B, il codominio, tale che ogni elemento di A sia associato a uno e un solo elemento f(a) di B. La relazione può essere «molti a uno» — più elementi del dominio possono condividere la stessa immagine — ma mai il contrario: un singolo elemento del dominio non può avere due immagini diverse.

Il termine «funzione» in senso matematico compare in una lettera di Leibniz dell’agosto 1673, con un significato ancora generico. Fu Johann Bernoulli, in una lettera a Leibniz del 2 settembre 1694, a proporne una descrizione più tecnica, come quantità formata a partire da grandezze variabili e costanti. Eulero la precisò ulteriormente: nell’Introductio in analysin infinitorum del 1748 la definì come un’espressione analitica composta in qualunque modo dalla variabile e da costanti; nel 1755, nelle Institutiones calculi differentialis, ne diede una versione più generale, legata non più a una formula esplicita ma alla semplice dipendenza tra grandezze: se una cambia quando cambia l’altra, la prima è funzione della seconda.

Il limite, avvicinarsi senza dover arrivare

Il limite descrive il comportamento di una funzione mano a mano che la variabile si avvicina a un punto, senza che la funzione debba essere definita esattamente lì. Nella definizione formale «epsilon-delta» riportata da MathWorld, una funzione ha limite c in un punto a se, comunque si scelga un margine di errore piccolo a piacere, esiste una distanza dal punto entro la quale i valori della funzione restano dentro quel margine. La stessa idea vale per le successioni di numeri: una successione ha limite L se, da un certo indice in poi, tutti i suoi termini restano vicini a L quanto si vuole.

È un concetto che fa da fondamenta per tutto il resto: continuità, derivata e integrale si definiscono tutte a partire da un limite.

La continuità, quando il grafico non si spezza

Una funzione è continua in un punto x₀ quando si verificano insieme tre condizioni: la funzione è definita in x₀, il suo limite in x₀ esiste, e quel limite coincide con il valore della funzione in x₀. Se anche una sola di queste tre condizioni manca, la funzione ha una discontinuità in quel punto — un salto, un buco, oppure un’oscillazione senza limite.

La continuità è una condizione necessaria per la derivabilità, ma non è sufficiente: una funzione può essere continua in un punto e non avere lì una derivata, se il rapporto incrementale non tende allo stesso valore da destra e da sinistra.

La derivata, la velocità del cambiamento

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto incrementale [f(x+h) - f(x)] / h quando h tende a zero: misura la rapidità con cui la funzione cambia in quel punto preciso, non la sua variazione media su un intervallo.

Esempio pratico: se una funzione descrive la posizione di un oggetto nel tempo, la sua derivata descrive la velocità istantanea di quell’oggetto in ogni istante — ed è proprio in termini di velocità e accelerazione istantanee, cioè di derivate, che si scrivono le tre leggi di Newton sul moto.

Storicamente, la derivata ha avuto due notazioni parallele. Leibniz scrisse d/dx; Newton usava un punto sopra la lettera per indicare le «fluxions», le velocità istantanee — nozione che introdusse già nell’ottobre 1666, nel suo Tract on Fluxions, insieme a quella che secondo MacTutor fu la prima formulazione esplicita del teorema fondamentale del calcolo. Secondo MathWorld, nel tempo la notazione di Leibniz prevalse su quella di Newton nell’uso della disciplina.

L’integrale, sommare infiniti pezzi

L’integrale definito ∫ₐᵇ f(x)dx somma infiniti pezzi infinitesimi per calcolare il contenuto di una regione continua, tipicamente un’area sotto il grafico di una funzione, tra due estremi a e b. L’integrale indefinito ∫f(x)dx, invece, non è un numero ma una famiglia di funzioni: è definito solo a meno di una costante arbitraria C, perché se F(x) è una primitiva di f(x), anche F(x)+C lo è, dato che la derivata di una costante è sempre zero.

Il legame tra i due concetti è il teorema fondamentale del calcolo, che nella sua prima formulazione — riportata da MathWorld — dice che ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a), dove F è una primitiva di f: derivata e integrale sono, in un certo senso, operazioni inverse l’una dell’altra.

Una storia lunga duemila anni

Il nucleo dell’idea di sommare infiniti pezzi piccolissimi precede di molto il Seicento: secondo MacTutor, già Archimede, attorno al 225 a.C., calcolò l’area di un segmento di parabola con quello che la fonte descrive come il primo esempio noto di sommazione di una serie infinita.

Il calcolo infinitesimale nacque nella seconda metà del Seicento, quando Newton e Leibniz arrivarono a risultati simili lavorando in modo indipendente. Leibniz incontrò Christiaan Huygens a Parigi nel 1672 e l’anno dopo acquistò a Londra alcune opere matematiche, tra cui quelle di Isaac Barrow; nel 1675 scrisse per la prima volta un’espressione con il simbolo di integrale, e pubblicò i suoi risultati sul calcolo differenziale e integrale negli Acta Eruditorum nel 1684 e nel 1686. Newton, da parte sua, aveva scritto Analysis with infinite series nel 1669 e Method of fluxions nel 1671, ma le pubblicò solo molti anni più tardi, rispettivamente nel 1711 e nel 1736; secondo MacTutor, il fallimento dell’editore di un’opera di Barrow rese per un periodo gli editori più cauti nel pubblicare testi di matematica, un fattore che contribuì al ritardo. Fu Jacob Bernoulli, nel 1690, a proporre il nome «calcolo integrale» per la parte della disciplina prima chiamata calculus summatorius.

Il rigore con cui si definiscono limite e continuità arrivò più tardi. Nel 1734 il filosofo George Berkeley pubblicò The Analyst, un testo che attaccava la mancanza di fondamenta solide nel calcolo dell’epoca; le sue critiche aprirono, nei decenni successivi, un percorso che culminò nel lavoro di Cauchy, nel diciannovesimo secolo, sulle definizioni rigorose di limite e continuità poi diventate standard.