Equazioni: cosa sono e come si risolvono

Che cos’è un’equazione

Un’equazione, secondo la voce «Equazione» dell’Enciclopedia della Matematica Treccani, è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite. Risolverla significa trovare i valori dell’incognita che rendono vera quell’uguaglianza. Le equazioni sono uno degli oggetti su cui lavora l’algebra: il calcolo letterale, cioè l’uso di lettere al posto di numeri, è lo strumento con cui si scrivono e si maneggiano.

Per passare da un’equazione a un’altra, più semplice ma con le stesse soluzioni, si usano due regole. Treccani le chiama principi di equivalenza. Il primo dice che si può sommare (o sottrarre) una stessa espressione a entrambi i membri di un’equazione, e il risultato è ancora un’equazione equivalente, cioè con lo stesso insieme di soluzioni. Il secondo dice che si può moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per una stessa espressione, purché non sia mai nulla, ottenendo di nuovo un’equazione equivalente.

Il concetto di equivalenza è più largo di quanto sembri a prima vista. Treccani, nella voce «Equazioni equivalenti», fa un esempio utile: le equazioni |x|-1=0 e x²-1=0 hanno entrambe come soluzioni -1 e +1, quindi sono equivalenti, pur non essendo affatto la stessa equazione né ottenibili l’una dall’altra con i due principi visti sopra.

Equazioni di primo grado, passo dopo passo

Un’equazione di primo grado in un’incognita ha la forma ax+b=0, dove a e b sono numeri noti e x è l’incognita, con a diverso da zero. Risolverla vuol dire applicare i due principi di equivalenza fino a isolare la x da sola su un lato dell’uguale, usando le stesse operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione che si incontrano già in aritmetica.

Esempio pratico: comprando 3 quaderni identici, con uno sconto di 2 euro sul totale, e spendendo in tutto 13 euro, il prezzo x di un quaderno si trova risolvendo l’equazione 3x - 2 = 13. Per il primo principio di equivalenza, si sommano 2 euro a entrambi i membri: 3x = 15. Per il secondo principio, si dividono entrambi i membri per 3: x = 5. Ogni quaderno costa 5 euro.

Equazioni con frazioni

Quando l’incognita compare dentro frazioni, come in x/2 + 1 = 5/3, il primo passo non è calcolare subito ma eliminare i denominatori. Si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori presenti nell’equazione: in questo caso il minimo comune multiplo tra 2 e 3 è 6. Moltiplicando per 6 ogni termine, le frazioni scompaiono e resta un’equazione di primo grado ordinaria, che si risolve con i passaggi visti sopra. È un errore comune saltare questo passaggio e provare a sommare le frazioni così come sono: funziona anche in quel modo, ma il calcolo si complica molto più in fretta quando i denominatori non sono semplici come 2 e 3.

Equazioni di secondo grado e la formula risolutiva

Un’equazione di secondo grado ha la forma generale ax²+bx+c=0, con a diverso da zero: rispetto al primo grado compare anche il termine x², cioè l’incognita al quadrato. Wolfram MathWorld riporta la formula che dà le sue soluzioni: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a.

L’espressione sotto la radice, b²-4ac, si chiama discriminante e, da sola, dice quante soluzioni reali esistono prima ancora di finire il calcolo. Se è positivo, ci sono due soluzioni reali distinte. Se è zero, la formula produce un’unica soluzione, detta doppia. Se è negativo, la radice quadrata di un numero negativo non esiste tra i numeri reali, e quindi l’equazione non ha soluzioni reali.

La storia di questa formula è più lunga e meno lineare di quanto un solo nome possa suggerire. Secondo MacTutor History of Mathematics, i Babilonesi risolvevano già, attorno al 1800 a.C., casi particolari di equazioni quadratiche con un approccio algoritmico basato sul completamento del quadrato, pur senza avere il concetto stesso di equazione; Euclide, verso il 300 a.C., arrivò a risultati equivalenti per via geometrica. Fu il matematico persiano al-Khwarizmi, in un trattato di circa l’800 da cui derivano i termini «algebra» e «algoritmo», a classificare sistematicamente diversi tipi di equazioni di secondo grado e a dare, per ciascuno, una regola risolutiva accompagnata da una dimostrazione geometrica: un lavoro che MacTutor descrive come il primo trattamento organico dell’argomento, più che un’invenzione dal nulla.

Disequazioni: stessa logica, un verso che può cambiare

Una disequazione, secondo Treccani, è una formula in cui compare uno dei simboli di disuguaglianza: minore (<), minore o uguale (≤), maggiore (>), maggiore o uguale (≥), al posto del segno di uguale. Per il resto, si risolve applicando gli stessi due principi di equivalenza visti per le equazioni, con un’unica eccezione.

Treccani fa un esempio diretto di questo cambio: dalla disequazione -2x > 3, moltiplicando entrambi i membri per -1/2, si ottiene x < -3/2. Il verso è passato da maggiore a minore proprio perché il numero usato per moltiplicare, -1/2, è negativo.

C’è anche una piccola differenza da notare quando la disuguaglianza è larga, cioè quando si usano ≤ o ≥ invece di < o >: in quel caso, come osserva Treccani, l’insieme delle soluzioni della disequazione comprende anche le eventuali soluzioni dell’equazione associata, ottenuta sostituendo il simbolo di disuguaglianza con l’uguale. Quando l’incognita finisce sotto il segno di radice, il procedimento cambia ancora: le disequazioni irrazionali impongono anche una condizione di esistenza sul radicando, prima di poter confrontare i due membri. Se invece l’incognita compare al denominatore, servono le disequazioni fratte, che si risolvono studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore con una tabella dei segni.

Quando le incognite diventano più di una, un sistema di equazioni o disequazioni da risolvere insieme entra nel territorio dell’algebra lineare, che tratta questi sistemi con matrici e vettori. Chi prosegue negli studi incontra poi le equazioni con funzioni continue nell’analisi matematica, dove si risolvono anche con l’aiuto di limiti e derivate. Se invece è l’esponente a contenere l’incognita, i due principi di equivalenza visti qui non bastano più: servono le equazioni esponenziali, con un metodo diverso a seconda che le basi coincidano o no.