Disequazioni irrazionali: cosa sono e come si risolvono, con esercizi guidati

Una disequazione irrazionale ha l’incognita x dentro un radicale, sotto il segno di radice. In pratica, non c’è solo un numero sotto la radice ma un’espressione con la x, e questo cambia il modo di risolvere il confronto tra i due membri rispetto a una disequazione ordinaria.

La condizione di esistenza

Quando la radice ha indice pari (quadrata, quarta, e così via), prima ancora di confrontare i due membri bisogna assicurarsi che la radice abbia senso. La condizione da imporre è che il radicando, l’espressione sotto la radice, sia maggiore o uguale a zero: è la condizione di esistenza, e viene prima di qualunque confronto tra i due membri. Senza questo primo passaggio si rischia di accettare come soluzioni dei valori di x per cui la radice non è nemmeno definita.

Il caso con il segno di minore

Quando la disequazione ha la forma “radice minore del secondo membro” (o minore o uguale), servono tre condizioni insieme, in un solo sistema: il radicando deve essere non negativo (la condizione di esistenza vista sopra), il secondo membro deve essere positivo, e il radicando deve essere minore del quadrato del secondo membro. Se anche una sola di queste tre condizioni non è soddisfatta, quella parte di x non fa parte della soluzione.

Esempio pratico: prendiamo la disequazione con la radice quadrata di 5x-4 minore di x. Le tre condizioni da mettere a sistema sono: 5x-4 non negativo, x positivo, e 5x-4 minore del quadrato di x. Risolvendo il sistema, la soluzione è x maggiore o uguale a 4/5 e minore di 1, oppure x maggiore di 4.

Il caso con il segno di maggiore

Quando la disequazione ha la forma “radice maggiore del secondo membro” (o maggiore o uguale), il ragionamento si divide in due strade, che poi si uniscono. Se il secondo membro è negativo, la disequazione è automaticamente soddisfatta ovunque valga la sola condizione di esistenza del radicando, perché una radice, quando esiste, non è mai negativa. Se invece il secondo membro non è negativo, bisogna elevare entrambi i membri al quadrato e confrontarli. La soluzione finale è l’unione delle soluzioni trovate nei due casi, non l’intersezione: un punto in cui la disequazione è vera in almeno uno dei due sistemi fa parte della soluzione.

Esempio pratico: con la disequazione radice quadrata di 5x+9 maggiore di x-1, il primo sistema (secondo membro negativo) dà come soluzione -9/5 minore o uguale a x minore di 1; il secondo sistema (secondo membro non negativo, con l’elevamento al quadrato) dà 1 minore o uguale a x minore di 8. Unendo le due soluzioni si ottiene -9/5 minore o uguale a x minore di 8.

L’indice dispari, il caso più semplice

Con un indice dispari, cubica, quinta e così via, non c’è nessuna condizione di esistenza da porre: una radice di indice dispari è definita per ogni numero reale, anche quando il radicando è negativo. Si può quindi elevare direttamente entrambi i membri alla potenza corrispondente, mantenendo il verso della disequazione, senza dover distinguere sistemi diversi. È lo stesso principio che vale per le equazioni irrazionali, dove eliminare la radice elevando a potenza è il passaggio chiave; la differenza è che nelle disequazioni bisogna anche tenere sotto controllo il segno dei due membri.

Chi ha già ripassato come si risolvono le equazioni, incluso il caso irrazionale, trova qui la stessa idea di fondo applicata a un confronto, non a un’uguaglianza; e chi vuole rivedere prima le basi del calcolo con le lettere può ripartire da come funziona il calcolo letterale in algebra. Per collocare questi numeri nell’insieme giusto (razionali, irrazionali, reali) è utile anche lo schema degli insiemi numerici.