Equazioni esponenziali: come si risolvono, con esempi svolti

Le equazioni esponenziali si riconoscono da un dettaglio, la lettera che cerchiamo non sta più nella base di una potenza ma nel suo esponente. Nelle equazioni di primo e secondo grado, l’incognita compare come base, come coefficiente o come termine da sommare; qui invece la potenza ha una base fissata e la x sale in cima, come in 2 elevato x uguale 8. La forma più generale è a elevato x uguale b, con a e b numeri reali.

Perché l’equazione abbia senso, la base a deve rispettare due condizioni. Deve essere positiva, perché una potenza con base negativa ed esponente qualunque non è definita in modo coerente nei numeri reali. E deve essere diversa da 1, perché 1 elevato a qualsiasi esponente vale sempre 1, e l’equazione diventerebbe indeterminata se anche il termine noto vale 1, oppure impossibile in tutti gli altri casi.

Quando le due basi sono già uguali

Il caso più semplice si presenta quando il termine noto e la base di partenza condividono la stessa radice. Se si riesce a scrivere entrambi i membri come potenze dello stesso numero, la funzione esponenziale li tratta allo stesso modo: due potenze con la stessa base sono uguali solo se lo sono anche i loro esponenti.

Esempio pratico: risolvere 2 elevato x uguale 4. Il numero 4 si scrive come 2 elevato 2, quindi l’equazione diventa 2 elevato x uguale 2 elevato 2. Le basi sono uguali, quindi si confrontano gli esponenti: x uguale 2. La verifica è immediata, 2 elevato 2 fa proprio 4.

Quando la stessa base è nascosta

Non sempre le due potenze mostrano a colpo d’occhio la stessa base. Numeri come 8 e 16 non sembrano imparentati, ma sono entrambi potenze di 2 (rispettivamente 2 alla terza e 2 alla quarta). Riscriverli in questo modo permette di applicare la proprietà della potenza di potenza, che moltiplica tra loro gli esponenti quando una potenza viene a sua volta elevata a un’altra potenza.

Esempio pratico: risolvere 8 elevato (x+2) uguale 16 elevato (x+1). Si riscrivono le basi come potenze di 2, ottenendo (2 elevato 3) elevato (x+2) uguale (2 elevato 4) elevato (x+1). Per la potenza di potenza, l’equazione diventa 2 elevato (3x+6) uguale 2 elevato (4x+4). Le basi sono ora le stesse, quindi si uguagliano gli esponenti: 3x più 6 uguale 4x più 4, da cui x uguale 2.

Quando le basi restano diverse, il logaritmo

Certe coppie di numeri non condividono nessuna base comune elevabile a un esponente intero o razionale semplice, 3 e 10 ne sono un esempio. In questi casi si applica il logaritmo a entrambi i membri dell’equazione. L’uguaglianza resta valida qualunque base si scelga per il logaritmo, e la proprietà del logaritmo di una potenza permette di far scendere l’esponente davanti al logaritmo, trasformando l’equazione in una normale equazione di primo grado nell’incognita x.

Esempio pratico: risolvere 3 elevato x uguale 10. Si applica il logaritmo in base 10 a entrambi i membri: log(3 elevato x) uguale log(10). Per la proprietà del logaritmo di una potenza, x per log(3) uguale 1, perché il logaritmo in base 10 di 10 vale 1. Isolando x si ottiene x uguale 1 diviso log(3).

Equazioni esponenziali dentro l’algebra

Le equazioni esponenziali restano equazioni algebriche a tutti gli effetti: una volta riscritte con le basi uguali, o dopo il passaggio ai logaritmi, tornano a essere equazioni di primo grado, risolvibili con le stesse regole del calcolo letterale spiegate in Algebra. La funzione esponenziale che le governa, insieme alla sua inversa il logaritmo, è uno degli argomenti che si approfondiscono studiando l’analisi matematica.