Disequazioni fratte: come si risolvono, con esercizi svolti

Una disequazione fratta si riconosce da un dettaglio preciso: l’incognita compare anche al denominatore di una frazione. In (x-1)/2 > 0 la x è solo sopra la linea di frazione, e in pratica basta moltiplicare tutto per 2: è una disequazione intera scritta in modo un po’ insolito. In (x-1)/(x+1) > 0, invece, la x è anche sotto: quella frazione può cambiare segno al variare di x, e serve un metodo pensato apposta per questo.

La condizione di esistenza

Prima di qualunque calcolo va imposta una condizione: il denominatore deve essere diverso da zero. Non è un dettaglio tecnico da sistemare alla fine, è il primo passo, perché una frazione con denominatore zero non ha alcun valore: l’espressione perde di significato in quel punto. Questa condizione resta valida fino all’ultima riga della soluzione, anche se lo studio dei segni sembrasse in seguito includere quel valore.

Per lo stesso motivo, quando più avanti si studia il segno del denominatore, lo si fa sempre con la disuguaglianza stretta (D(x) > 0 oppure D(x) < 0), mai con ≥ o ≤: il denominatore non può annullarsi, quindi quell’uguaglianza non è mai un’opzione da tenere aperta.

Il metodo in quattro passi

Una volta scritta la condizione di esistenza, la disequazione si affronta in quattro passaggi fissi.

Il primo è la forma normale: si portano tutti i termini a sinistra del simbolo di disequazione, lasciando zero a destra, e si riduce l’espressione a un’unica frazione algebrica N(x)/D(x). Se ci sono più frazioni da sommare o sottrarre, questo è il momento di trovare il denominatore comune: saltare questo passo e lavorare direttamente sui termini separati è la scorciatoia più insidiosa, perché il segno di una somma di frazioni non si ottiene sommando i segni delle singole frazioni.

Il secondo passo è lo studio separato dei segni: si analizza il segno di N(x) da solo, poi il segno di D(x) da solo, come se fossero due disequazioni indipendenti (rispettivamente N(x) > 0 o ≥ 0, a seconda del verso originale, e D(x) sempre > 0, per il motivo appena visto). Se numeratore o denominatore sono a loro volta composti da più fattori, ciascun fattore si studia singolarmente.

Il terzo passo è la tabella dei segni (chiamata anche schema dei segni): sulla stessa retta numerica si segnano gli zeri di N(x) e di D(x), che dividono la retta in intervalli, e per ciascun intervallo si riporta il segno di N(x), il segno di D(x) e il segno risultante della frazione. La regola è la stessa della divisione tra numeri: numeratore e denominatore concordi (stesso segno) danno una frazione positiva, discordi (segni opposti) danno una frazione negativa.

Il quarto passo è il confronto con il verso della disequazione originale: si leggono sulla tabella gli intervalli in cui il segno della frazione corrisponde al verso richiesto (positiva per > o ≥, negativa per < o ≤), tenendo conto che gli zeri del denominatore restano sempre esclusi, mentre gli zeri del numeratore entrano nella soluzione solo se il verso ammette l’uguaglianza.

Esempio pratico: risolviamo (x-3)/(x+4) > 0.

La condizione di esistenza è x ≠ -4. L’espressione è già nella forma N(x)/D(x), con N(x) = x-3 e D(x) = x+4.

Studiamo N(x) > 0: x - 3 > 0 significa x > 3. Studiamo D(x) > 0: x + 4 > 0 significa x > -4.

Sulla tabella dei segni: per x < -4, sia N(x) sia D(x) sono negativi, quindi la frazione è positiva. Per -4 < x < 3, N(x) è negativo e D(x) è positivo, quindi la frazione è negativa. Per x > 3, entrambi sono positivi, quindi la frazione è di nuovo positiva.

Il verso della disequazione è >, quindi cerchiamo dove la frazione è positiva: x < -4 oppure x > 3. Il valore x = -4 resta escluso in ogni caso, per la condizione di esistenza; x = 3 non è incluso perché la disequazione è strettamente maggiore di zero. Se la disequazione di partenza fosse stata (x-3)/(x+4) ≥ 0, la soluzione sarebbe cambiata solo per x = 3, che a quel punto entrerebbe: x < -4 oppure x ≥ 3. x = -4 resterebbe comunque escluso.

Chi ha già ripassato le equazioni riconosce la stessa forma normale, con una differenza cruciale: in un’equazione fratta il denominatore si esclude e basta, perché si cerca un unico valore; in una disequazione fratta il denominatore condiziona il segno su interi intervalli della retta, e va seguito passo dopo passo insieme al numeratore.

Il calcolo letterale che serve per ridurre l’espressione a un’unica frazione e per scomporre N(x) e D(x) in fattori è lo stesso dell’algebra: senza saper fattorizzare un polinomio, la tabella dei segni non si costruisce. E la soluzione finale di una disequazione fratta non è quasi mai un numero solo, ma un insieme di intervalli: la stessa idea di intervallo tra numeri reali che si incontra studiando gli insiemi numerici.

Un errore diffuso è saltare la condizione di esistenza convinti che il calcolo dei segni la ritrovi da solo. Non è sempre così: se il verso della disequazione è ≥, il calcolo potrebbe includere il punto che annulla il denominatore fra i valori che soddisfano N(x)/D(x) ≥ 0, semplicemente perché lo studio dei segni, da solo, non sa che quel punto rende la frazione priva di significato. Solo la condizione di esistenza, scritta all’inizio e tenuta valida fino alla fine, lo esclude con certezza.

Un metodo che parte da lontano

Il confronto tra frazioni, e l’idea che il segno di una frazione dipenda da numeratore e denominatore insieme, affonda le radici nell’aritmetica: è lì che si impara per la prima volta quando una frazione è positiva o negativa, molto prima di incontrare un’incognita al denominatore. Le disequazioni fratte applicano la stessa regola a un’espressione che cambia con x, invece che a un numero fisso.

Come non sbagliare

Il difetto più comune non è un errore di calcolo, ma di ordine: risolvere prima l’equazione associata, poi cercare di “aggiustare” il segno a intuito. Il metodo in quattro passi esiste proprio per evitare quella scorciatoia, che quasi sempre dimentica un intervallo o include per errore lo zero del denominatore.