Volume del prisma: la formula generale e il calcolo del prisma triangolare

Cos’è un prisma: basi, facce laterali, spigoli

Un prisma è un solido con due basi poligonali congruenti, poste su piani paralleli, e facce laterali a forma di parallelogramma che collegano i lati corrispondenti delle due basi. I lati delle facce laterali si chiamano spigoli. Se gli spigoli sono perpendicolari alle basi il prisma è detto retto; se le basi sono poligoni regolari, il prisma è regolare; se le basi sono parallelogrammi, il solido prende il nome di parallelepipedo. Nel caso più comune, con basi rettangolari, si parla di parallelepipedo rettangolo, il cui volume si calcola come lunghezza per larghezza per altezza. Questa famiglia di solidi rientra nella geometria dei solidi, che raccoglie le proprietà e i calcoli di volume e superficie di tutte le figure tridimensionali, mentre le definizioni di poligono, angolo e piano su cui si appoggia vengono dalla geometria euclidea.

La formula generale del volume

Il volume di un prisma è il prodotto tra l’area della base e l’altezza: V = B × h, dove B è l’area del poligono di base e h è la distanza perpendicolare tra le due basi. La formula non dipende dalla forma della base: funziona allo stesso modo per un triangolo, un rettangolo o un qualsiasi altro poligono, perché il volume dipende solo dalla forma della base e dalla distanza tra i due piani paralleli che la contengono. Calcolare B è un problema di aritmetica applicata alle formule delle aree, mentre scrivere e riorganizzare V = B × h con lettere al posto dei numeri è algebra di base.

Il volume del prisma a base triangolare

Per un prisma a base triangolare la formula generale si applica sostituendo B con l’area del triangolo: prima si calcola l’area della base triangolare (metà base per altezza del triangolo), poi si moltiplica il risultato per l’altezza del prisma. È lo stesso procedimento che si usa per qualunque prisma a base poligonale, solo con una formula diversa per calcolare B.

Retto o obliquo: quale altezza usare

Nei prismi obliqui gli spigoli laterali sono inclinati rispetto alle basi. In questo caso l’altezza da usare nella formula resta sempre la distanza perpendicolare tra le due basi, mai lo spigolo laterale, che è più lungo perché inclinato. La ragione è il principio di Cavalieri: se le sezioni trasversali di due solidi hanno la stessa area a ogni livello, i due solidi hanno lo stesso volume, indipendentemente da quanto siano inclinati i lati. Le sezioni trasversali di un prisma obliquo restano congruenti alla base anche quando il solido è inclinato, un po’ come una pila di monete spostate lateralmente: la forma di ogni singola moneta non cambia.

Esempio pratico: un prisma a base triangolare ha come base un triangolo rettangolo con i due cateti di 3 cm e 4 cm (e quindi l’ipotenusa di 5 cm), e un’altezza del prisma di 10 cm. L’area della base si calcola come metà del prodotto dei due cateti: ½ × 3 × 4 = 6 cm². A questo punto il volume è l’area della base per l’altezza del prisma: 6 cm² × 10 cm = 60 cm³.

Prismi triangolari a confronto

I prismi triangolari sono il caso più comune negli esercizi scolastici, ma la stessa logica vale per qualsiasi altro poligono di base. Cambia solo il modo di calcolare B.

Un secondo esempio, con un triangolo equilatero di lato 12 cm e altezza del triangolo di 10,39 cm, dà un’area di base di circa 62,34 cm² (½ × 12 × 10,39): con un’altezza del prisma di 10 cm il volume risulta 623,4 cm³. I numeri cambiano, ma il procedimento resta lo stesso di prima: area della base, poi moltiplicazione per l’altezza.