Parallelepipedo rettangolo: come si calcola il volume

Cos’è un parallelepipedo rettangolo

Secondo l’Enciclopedia della Matematica Treccani, un parallelepipedo è un poliedro con sei facce costituite da parallelogrammi congruenti e paralleli a due a due; è rettangolo quando tutte le sue facce sono rettangoli. Wolfram MathWorld usa un termine diverso per lo stesso solido, “cuboid” (in italiano cuboide), e lo definisce come una scatola chiusa composta da tre coppie di facce rettangolari opposte, unite ad angolo retto: precisa anche che il cuboide è un caso particolare del parallelepipedo, e nel linguaggio comune corrisponde a una semplice “scatola” rettangolare.

Nella pratica scolastica lo stesso solido compare con altri due nomi: prisma rettangolare quadrangolare e parallelepipedo a base rettangolare. Non sono tre figure diverse, ma tre modi di chiamare lo stesso oggetto — utile saperlo, perché un libro di testo o una ricerca online può usare l’uno o l’altro.

La formula del volume

Il volume si ottiene moltiplicando le tre dimensioni del solido. Treccani la scrive come V = abc, dove a, b e c sono gli spigoli; Math Is Fun la scrive come V = lwh, cioè lunghezza per larghezza per altezza. Sono la stessa formula con notazioni diverse:

V = lunghezza × larghezza × altezza

Le tre dimensioni sono i tre spigoli che si incontrano in ciascun vertice del solido, tutti perpendicolari tra loro. Il risultato si misura in unità cubiche: se lunghezza, larghezza e altezza sono in centimetri, il volume è in centimetri cubi.

La stessa formula si può leggere anche come “area di base per altezza”, il principio generale valido per ogni prisma (compreso il caso del prisma a base triangolare, dove l’area di base richiede prima la formula dell’area del triangolo: un prodotto di due lati qui non basta). Nel parallelepipedo rettangolo la base è un rettangolo, quindi la sua area è già lunghezza × larghezza: moltiplicarla per l’altezza dà lo stesso risultato di V = l × w × h.

Esempio pratico: un pacco misura 8 pollici di lunghezza, 5 pollici di larghezza e 16 pollici di altezza. Secondo l’impostazione in due passaggi di Cuemath, prima si calcola l’area della base: 8 × 5 = 40 pollici quadrati. Poi si moltiplica per l’altezza: 40 × 16 = 640 pollici cubi. Lo stesso risultato si ottiene facendo 8 × 5 × 16 tutto insieme.

Il caso particolare del cubo

Sia Treccani sia Wolfram MathWorld segnalano lo stesso confine: quando le tre dimensioni sono uguali (a = b = c), il parallelepipedo rettangolo si riduce a un cubo. Il cubo è quindi un caso particolare del parallelepipedo rettangolo, quello in cui lunghezza, larghezza e altezza coincidono: la formula del volume resta la stessa, solo con i tre fattori uguali (per esempio 5 × 5 × 5).

La superficie totale, per non confonderla col volume

Le stesse fonti riportano anche la formula della superficie totale — l’area di tutte e sei le facce sommate —, utile soprattutto per non confonderla con il volume: St = 2(ab + ac + bc), dove a, b e c sono di nuovo le tre dimensioni. È una formula diversa da quella del volume, e il risultato si misura in unità quadrate: per un solido di lati 4, 5 e 10 il volume è 200 unità cubiche, mentre la superficie totale è 220 unità quadrate. Il calcolo letterale dietro queste formule è spiegato in algebra: cos’è e come funziona il calcolo letterale. Le stesse formule si appoggiano ai teoremi di geometria euclidea: postulati, assiomi e teoremi degli Elementi, e l’impianto più generale con variabili e matrici è quello dell’algebra lineare: cos’è e quali sono i suoi concetti fondamentali.