Sezioni coniche: cosa sono e come si distinguono

Un cono, un piano, quattro curve

Le sezioni coniche sono le curve che nascono dall’intersezione di un piano con una o entrambe le falde di un cono: il nome descrive il procedimento. Quando il piano è perpendicolare all’asse del cono l’intersezione è una circonferenza. Se invece il piano è inclinato e rimane dentro una falda sola, la curva prodotta è un’ellisse oppure una parabola, a seconda di quanto pende. E se il piano attraversa entrambe le falde, quello che resta disegnato è un’iperbole.

Lo stesso gruppo di curve si riconosce dall’algebra, il terreno della geometria analitica: ogni sezione conica è descritta da un’equazione quadratica generale, della forma ax² + 2bxy + cy² + dx + fy + g = 0, cioè da una di quelle equazioni di secondo grado in cui le incognite compaiono anche al quadrato.

Secondo MathWorld esiste poi un modo di definire le quattro curve tutte insieme, con un solo parametro. Fissati un punto F, detto fuoco, e una retta d, detta direttrice, una sezione conica è il luogo dei punti P per cui il rapporto fra la distanza di P da F e la distanza di P da d vale sempre la stessa costante, l’eccentricità. Quel valore separa i casi: è 0 per la circonferenza, sta fra 0 e 1 per l’ellisse, è esattamente 1 per la parabola, supera 1 per l’iperbole.

Da Menecmo agli anelli di Saturno

La scoperta di queste forme è attribuita generalmente a Menecmo, matematico greco vissuto intorno al 380-320 a.C.: intersecando un piano con un cono circolare retto e cambiando l’inclinazione del piano ottenne figure diverse, dotate di una simmetria quasi perfetta. Prima di lui Aristotele potrebbe averne avuto una comprensione intuitiva, dato che aveva descritto come circolare l’orbita di un pianeta. Su quel punto la correzione arrivò molto più tardi, con Keplero, che osservò come le orbite planetarie non abbiano in realtà forma circolare e stabilì che i pianeti percorrono attorno al Sole un’orbita ovale, cioè ellittica: il risultato che si studia insieme alle tre leggi di Keplero sul moto dei pianeti. Nell’Ottocento Maxwell e Kovalevskaya aggiunsero un tassello al capitolo celeste, dimostrando che gli anelli di Saturno, malgrado l’aspetto compatto, non sono un corpo solido e continuo ma un insieme di piccole particelle.

Messe in fila, le differenze stanno in due colonne, come taglia il piano e quanto vale l’eccentricità.

Le tre curve aperte, una per una

L’ellisse è l’insieme dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, i fuochi, resta costante; centrata nell’origine e con l’asse maggiore orizzontale si scrive x²/a² + y²/b² = 1, con a maggiore di b. OpenStax elenca fra i casi reali le orbite di pianeti, satelliti, lune e comete, e poi sagome più terrene, come le chiglie di certe barche, i timoni, alcune ali di aereo.

Esempio pratico: in una camera dei sussurri, la sala a cupola ellittica, un’onda sonora generata in uno dei due fuochi viene riflessa dalla cupola e si concentra nell’altro fuoco. Chi si trova nel secondo fuoco riceve il suono raccolto da tutta la volta.

L’iperbole raccoglie i punti del piano per cui la differenza, in valore assoluto, delle distanze dai due fuochi è una costante positiva; col centro nell’origine e l’asse trasverso orizzontale la sua equazione è x²/a² - y²/b² = 1. La forma compare anche nell’ingegneria pesante: le torri di raffreddamento a iperboloide sono progettate così perché reggono venti estremi impiegando meno materiale da costruzione.

Esempio pratico: quando un oggetto supera la velocità del suono genera un’onda d’urto a forma di cono. Dove quel cono incontra il suolo si disegna la porzione di una sezione conica.

La parabola tiene insieme i punti equidistanti da una retta fissa, la direttrice, e da un punto fisso che a quella retta non appartiene, il fuoco. La sua sagoma torna in antenne paraboliche, telescopi, microfoni, riflettori, fari delle auto e ponti sospesi. Chi vuole seguire il caso più studiato a scuola passo per passo trova equazione e grafico nel Recap dedicato alla parabola e alla sua curva.

Esempio pratico: uno specchio parabolico raccoglie energia, luce oppure onde, e la concentra in un unico punto, il fuoco.

Tutto questo apparato di fuochi, direttrici e assi poggia su un impianto più antico, quello della geometria euclidea degli Elementi, dove punti e rette ricevono le loro prime definizioni.