Geometria analitica: cos'è e come funziona

La geometria analitica studia le figure geometriche con gli strumenti dell’algebra. Secondo l’Enciclopedia della Matematica Treccani, è “lo studio degli oggetti e delle relazioni della geometria attraverso l’utilizzo di metodi e strumenti algebrici”. Il punto di partenza è il piano cartesiano, il sistema di assi e coordinate su cui ogni punto ha una posizione precisa: la geometria analitica usa quel sistema per scrivere le figure come equazioni, invece di costruirle con riga e compasso.

Wolfram MathWorld dà una definizione più tecnica e la considera equivalente al nome coordinate geometry: descrive la geometria analitica come lo studio delle figure condotto rappresentando e manipolando in modo algebrico le equazioni che ne descrivono posizione, forma e distanze. Il collegamento con il calcolo letterale non è casuale: la geometria analitica applica alle figure gli stessi strumenti che l’algebra usa per risolvere problemi con lettere e numeri, e le equazioni che ne escono si risolvono con le stesse tecniche delle equazioni comuni.

La retta, un’equazione di primo grado

Per Wolfram MathWorld, una retta è una figura a una dimensione, dritta, senza spessore, che si estende all’infinito in entrambe le direzioni. In geometria analitica, una retta sul piano si scrive nella forma esplicita y = mx + q. In questa scrittura, x e y sono le coordinate di un punto qualsiasi della retta, m è il coefficiente angolare e q è il punto in cui la retta incrocia l’asse verticale.

Il coefficiente angolare m è il numero che dice quanto la retta è inclinata. Secondo OpenStax, il coefficiente angolare di una retta è dato dal rapporto tra quanto sale (rise) e quanto avanza (run): una retta che sale da sinistra a destra ha coefficiente angolare positivo, una che scende ce l’ha negativo. Il segno va letto in un verso preciso: la stessa retta, percorsa nell’altro senso, salirebbe dove prima scendeva.

Esempio pratico: la retta di equazione y = 2x + 1 passa per il punto (0, 1), perché quando x vale 0 la formula restituisce y = 1. Se x aumenta di 1, y aumenta di 2: è quello che dice il coefficiente angolare 2, un valore positivo che descrive una retta che sale.

La circonferenza, un’equazione di secondo grado

Sempre secondo la voce Treccani, mentre le rette corrispondono a equazioni di primo grado, le coniche - tra cui la circonferenza - corrispondono a equazioni di secondo grado. Wolfram MathWorld definisce la circonferenza come l’insieme dei punti di un piano equidistanti da un punto dato, e la descrive anche come il caso degenere di un’ellisse con i semiassi uguali.

Nella forma canonica, una circonferenza con centro nel punto di coordinate (x0, y0) e raggio r ha equazione (x - x0)² + (y - y0)² = r². Il meccanismo è lo stesso della retta: ogni coppia di coordinate (x, y) che soddisfa l’equazione corrisponde a un punto della curva, cioè a un punto che sta esattamente a distanza r dal centro.

Esempio pratico: una circonferenza di centro (0, 0) e raggio 3 ha equazione x² + y² = 9. Il punto (3, 0) sta sulla curva, perché 3² + 0² fa proprio 9; il punto (1, 1), invece, resta all’interno, perché 1² + 1² fa solo 2.

Due matematici, una stessa idea, nel 1637

Secondo la Stanford Encyclopedia of Philosophy, nel 1637 Cartesio presenta un programma innovativo per risolvere problemi geometrici, quello che lui stesso chiama un “calcolo geometrico” (calcul géométrique), fondato su un legame stretto tra algebra e geometria. L’opera, intitolata La Géométrie, non esce come libro a sé: secondo Treccani è “una delle appendici del Discorso sul metodo”.

Treccani ricorda anche che “è fondata consuetudine attribuire la nascita della geometria analitica a P. de Fermat e, in modo indipendente, a Cartesio”: i due matematici francesi arrivano a un metodo simile senza conoscere il lavoro l’uno dell’altro, e la storiografia matematica riconosce entrambi come fondatori. Euclide, nei suoi Elementi, aveva già definito la retta come una linea priva di larghezza (Wolfram MathWorld) molto prima che qualcuno la scrivesse come equazione: la geometria analitica non sostituisce la geometria euclidea, le affianca un linguaggio algebrico.

Il modo in cui la geometria analitica scrive rette e circonferenze come equazioni anticipa strumenti che tornano anche in algebra lineare e in analisi matematica, le materie che useranno queste stesse coordinate per studiare funzioni e trasformazioni più complesse.