Le leggi di Keplero: lo schema delle tre leggi sull'orbita dei pianeti

Prima di Keplero, il modello più diffuso per il moto dei pianeti era quello di Copernico: il Sole al centro, i pianeti che gli girano intorno lungo orbite circolari. Le osservazioni di Tycho Brahe, l’astronomo che aveva raccolto i dati più precisi dell’epoca pre-telescopica, non tornavano però con quel modello. Fu a Johannes Keplero che Brahe affidò il compito di capire come si muovesse davvero Marte, e da quel lavoro nacquero le tre leggi che portano il suo nome.

La prima legge: le orbite sono ellissi

La prima legge di Keplero dice che l’orbita di ogni pianeta intorno al Sole è un’ellisse, con il Sole che occupa uno dei due fuochi della figura — non il centro. L’ellisse è una figura già nota alla geometria euclidea ben prima di Keplero, ma nessuno l’aveva ancora applicata al moto dei pianeti reali.

Quanto un’ellisse si discosta da un cerchio si misura con l’eccentricità, un valore compreso tra zero e uno: a zero l’ellisse coincide con un cerchio, mentre più si avvicina a uno più la figura si appiattisce, fino a diventare quasi una linea retta. Ogni pianeta ha la sua eccentricità, ma nessuna orbita del sistema solare è un cerchio esatto.

La seconda legge: la legge delle aree

La seconda legge riguarda la velocità con cui un pianeta percorre la sua orbita, e qui il linguaggio tecnico si può tradurre in un’immagine semplice: la linea immaginaria che unisce il pianeta al Sole copre aree uguali in tempi uguali. Quando il pianeta è vicino al Sole, quella linea è corta, e per coprire la stessa area in poco tempo il pianeta deve percorrere un tratto d’orbita più lungo: accelera. Quando è lontano dal Sole, la linea è lunga e basta un arco corto per coprire la stessa area: il pianeta rallenta.

Il punto dell’orbita più vicino al Sole si chiama perielio, quello più lontano afelio. Nessun pianeta si muove a velocità costante: la seconda legge dice esattamente perché.

La terza legge: il rapporto tra periodo e distanza

La terza legge collega due grandezze che a prima vista sembrano indipendenti: il tempo che un pianeta impiega a completare un’orbita (il periodo) e la sua distanza media dal Sole. La legge dice che il quadrato del periodo orbitale è proporzionale al cubo della distanza media: pianeti più lontani impiegano molto più tempo a girare intorno al Sole, e non in proporzione diretta.

Esempio pratico: la Terra, per definizione, ha un periodo di 1 anno e una distanza media di 1 unità astronomica (UA); quindi il suo periodo al quadrato fa 1 e la sua distanza al cubo fa 1. Marte ha un periodo di 1,88 anni e una distanza di 1,524 UA: il quadrato del periodo dà 3,5344, il cubo della distanza dà 3,5396 — quasi lo stesso numero. Giove ha un periodo di 11,9 anni e una distanza di 5,203 UA: il quadrato del periodo dà 141,61, il cubo della distanza dà 140,85, di nuovo quasi identici. Le piccole differenze vengono solo dall’arrotondamento dei dati, non da un’eccezione alla legge.

La tabella seguente mostra il confronto per cinque pianeti, dal più vicino al Sole al più lontano tra quelli riportati dalla fonte:

Pianeta	Periodo T (anni)	Distanza media a (UA)	T²	a³
Mercurio	0,241	0,387	0,05808	0,05796
Terra	1	1	1	1
Marte	1,88	1,524	3,5344	3,5396
Giove	11,9	5,203	141,61	140,85
Saturno	29,5	9,539	870,25	867,98

In ogni riga, T² e a³ sono praticamente lo stesso numero: è la conferma numerica della terza legge, valida per pianeti con massa trascurabile rispetto a quella della stella che orbitano.

Le orbite dei pianeti del sistema solare, viste con le leggi di Keplero

Le tre leggi non descrivono un caso astratto: valgono per ogni pianeta del sistema solare. Ogni orbita è un’ellisse con il Sole in un fuoco, ogni pianeta accelera avvicinandosi al Sole e rallenta allontanandosene, e il confronto tra periodo e distanza regge per Mercurio come per Saturno, come mostra la tabella sopra.

Da Tycho Brahe a Newton

Keplero pubblicò le prime due leggi nel 1609, nell’opera Astronomia Nova. La terza legge arrivò dieci anni più tardi, nel 1619, nell’opera Harmonices Mundi. In mezzo ci fu un lungo lavoro di calcolo sui dati di Tycho Brahe, in particolare sull’orbita di Marte, il pianeta che Brahe aveva assegnato a Keplero.

Keplero non conosceva la gravità: le sue leggi descrivono il moto dei pianeti, e sarà Isaac Newton, decenni dopo, a spiegarne il perché con la sua teoria della gravitazione universale. Le leggi di Keplero furono strumentali a quel lavoro.