Sequenza di Fibonacci: la formula e dove si trova in natura

Cos’è la sequenza di Fibonacci

La sequenza di Fibonacci è un elenco di numeri interi che comincia con 1, 1 e prosegue sommando sempre i due termini precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, e così via, senza fine. È uno degli esempi più noti di aritmetica applicata a un pattern che si ripete: le operazioni sono solo addizioni, eppure generano una struttura che torna, in campi lontani dalla matematica pura.

La regola ricorsiva, passo dopo passo

Ogni numero della sequenza ha una posizione precisa, il primo, il secondo, il terzo, e la regola si scrive così: F(n) = F(n-1) + F(n-2), dove n indica la posizione del termine nella sequenza (un concetto che si può ripassare studiando i numeri ordinali e cardinali). Per calcolare l’ottavo termine basta sommare il sesto e il settimo: 8 più 13 fa 21. La sequenza intera, presa come insieme ordinato di numeri, rientra tra gli oggetti che si incontrano ripassando gli insiemi numerici: qui l’insieme non è dato in anticipo, cresce un termine alla volta secondo la regola.

Scrivere la regola con una lettera al posto del numero, F(n) invece di “il termine numero 8”, è lo stesso passaggio che si studia in algebra: una formula generale che vale per qualsiasi posizione della sequenza, non solo per un caso particolare.

Un’origine nel Duecento: Leonardo Pisano e il problema dei conigli

La sequenza fu introdotta in Europa da Leonardo Pisano, conosciuto come Fibonacci, nel Liber Abaci, pubblicato nel 1202. Fibonacci era cresciuto tra l’Italia e il Nord Africa, dove il padre Guilielmo ricopriva un incarico diplomatico. Rientrò a Pisa intorno al 1200, portando con sé un contatto diretto con la matematica araba e indiana che nel Liber Abaci portò in Europa anche i numeri indo-arabici e il sistema decimale.

Nel libro Fibonacci pose un problema concreto: quante coppie di conigli si ottengono in un anno, partendo da una sola coppia, se ogni mese ogni coppia matura genera una nuova coppia? La sequenza che risolve il problema è proprio 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Nel testo originale, però, Fibonacci omise il primissimo termine, partendo da 1, 2, 3, 5 invece che da 1, 1, 2, 3, 5: è il motivo per cui in alcuni testi la sequenza sembra iniziare con un numero in meno.

Il legame con il rapporto aureo

Dividendo un numero della sequenza per quello immediatamente precedente si ottiene un valore che cambia poco a poco: 21 diviso 13 fa circa 1,615, 34 diviso 21 fa circa 1,619. Man mano che si sale nella sequenza questi rapporti si avvicinano sempre di più a un unico numero, il rapporto aureo, circa 1,618, il limite del rapporto tra due termini consecutivi quando n tende all’infinito.

È un risultato dimostrato, non un’impressione: il legame matematico tra la sequenza di Fibonacci e il rapporto aureo è uno dei pochi collegamenti solidi tra i tanti che circolano su questo numero. Lo stesso Fibonacci, però, non lo scoprì: nel Duecento non ci sono tracce del fatto che collegasse la sua sequenza a questa proporzione, formalizzata solo secoli più tardi.

Dove compare in natura: dai girasoli alla fillotassi

Esempio pratico: contando le spirali dei semi in una testa di girasole, in tre direzioni diverse, si trovano tipicamente 21, 34 e 55 spirali, tre numeri di Fibonacci consecutivi. Non è un caso isolato: il Museo Nazionale della Matematica di New York osserva che contando le spirali in modo coerente si trova quasi sempre un numero della sequenza.

Bisogna però evitare una scorciatoia: non tutti i girasoli reali rispettano lo schema alla perfezione. Il pattern è diffuso, tipico della maggior parte degli esemplari, ma esistono conteggi che si discostano dalla sequenza, un dettaglio utile prima di trattare Fibonacci come una legge senza eccezioni.

Un secondo esempio riguarda la fillotassi, cioè la disposizione delle foglie attorno al fusto di una pianta, spesso descritta come la frazione di giro che separa una foglia dalla successiva:

Più si scende nella tabella, più il valore si avvicina al rapporto aureo, lo stesso limite descritto sopra per i rapporti tra termini consecutivi della sequenza.

Serie di Fibonacci in arte: un legame più leggenda che storia

La sequenza di Fibonacci viene spesso chiamata anche serie di Fibonacci, e a questo nome si accompagna un racconto ricorrente: che il rapporto aureo sia stato usato di proposito nella costruzione del Partenone o nelle proporzioni di dipinti rinascimentali. Lo storico della matematica Keith Devlin, della Stanford University, ha ripercorso l’origine di queste affermazioni e non ha trovato riscontri in fonti dell’epoca: l’idea prende piede da un libro del 1855 dello studioso tedesco Adolf Zeising, dopo il quale il tema del rapporto aureo, per usare le sue parole, “ha preso il volo”.