Insiemi numerici: naturali, interi, razionali e reali in uno schema

Cosa sono gli insiemi numerici

Secondo la voce che l’Enciclopedia della Matematica Treccani dedica agli insiemi numerici, la matematica raggruppa i numeri in famiglie via via più ampie: l’insieme dei numeri naturali (N), quello dei numeri interi (Z), quello dei numeri razionali (Q) e quello dei numeri reali (R). Ciascuno di questi insiemi contiene per intero quello precedente, in una catena di inclusioni che si scrive N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Le operazioni di calcolo non sono sempre risolvibili dentro un insieme piccolo. La sottrazione diventa sempre possibile in Z, la divisione in Q, la radice e la continuità della retta in R.

I numeri naturali (N)

I numeri naturali sono l’insieme più familiare: quello che si usa per contare oggetti, persone, giorni. Nella convenzione italiana, che segue Treccani e la teoria assiomatica del matematico Giuseppe Peano, N include lo zero: N = {0, 1, 2, 3, …}. Esiste anche una variante, indicata N₀, che parte da 1 ed esclude lo zero: la differenza dipende dal manuale o dalla tradizione che si segue.

Alla fine dell’Ottocento Peano diede ai numeri naturali una fondazione assiomatica basata su tre concetti primitivi — numero, zero, successore — e cinque assiomi, secondo quanto riporta Treccani. Le operazioni che si eseguono su questi numeri, somma, sottrazione, moltiplicazione, sono il cuore dell’aritmetica, il ramo della matematica che le studia.

I numeri interi (Z)

Dentro N, la sottrazione non sempre ha soluzione: 3 meno 5 non è un numero naturale. L’insieme dei numeri interi, indicato con Z (dal tedesco Zahlen, «numeri»), risolve il problema aggiungendo gli opposti dei naturali: Z = {0, +1, −1, +2, −2, …}, quello che Treccani chiama «numeri interi relativi». Con Z la sottrazione ha sempre un risultato, qualunque coppia di numeri si scelga.

Un’equazione come x + 5 = 2 non ha soluzione dentro N, perché richiederebbe un numero negativo. È il tipo di problema che le equazioni incontrano appena si esce dal semplice contare, ed è la ragione pratica per cui serve Z.

I numeri razionali (Q)

Anche dentro Z, un’operazione resta bloccata: la divisione. 7 diviso 2 non è un numero intero. L’insieme dei numeri razionali, indicato con Q (da Quotient), aggiunge le frazioni: secondo la definizione che ne dà OpenStax nel manuale College Algebra, Q è l’insieme dei numeri scrivibili come m/n, con m e n interi e n diverso da zero. Con Q la divisione ha sempre un risultato, tranne quando il denominatore è zero.

I numeri razionali hanno sempre una rappresentazione decimale finita o periodica: OpenStax porta l’esempio di 15/8, che fa 1,875 (decimale finito), e di 4/11, che fa 0,3636… con la cifra «36» che si ripete all’infinito (decimale periodico). La formula generale m/n, con lettere al posto dei numeri specifici, è lo stesso modo di scrivere usato dall’algebra per esprimere una regola valida per infiniti casi.

Esempio pratico: Il numero −5 appartiene a Z ma non a N, perché N non ha numeri negativi. Il numero 3/4 appartiene a Q ma non a Z, perché non è un numero intero. Il numero √2, che vale circa 1,41421356…, appartiene a R ma non a Q: le sue cifre decimali non si ripetono mai secondo uno schema, quindi non è esprimibile come frazione.

I numeri irrazionali e i numeri reali (R)

L’insieme dei numeri reali, R, è definito da Treccani come l’unione dell’insieme dei razionali (Q) e degli irrazionali (indicato con I). Gli irrazionali sono i numeri con una rappresentazione decimale che non è né finita né periodica: √2 e π sono gli esempi più noti, entrambi citati da Treccani.

Con R diventa possibile l’estrazione di radice per qualunque numero positivo, e la retta dei numeri diventa continua, senza i «buchi» che lascerebbero solo i razionali. Studiare cosa succede vicino a un punto di quella retta, senza buchi, è il terreno su cui lavora l’analisi matematica.

Q è un insieme numerabile: secondo Treccani, ha tanti elementi quanti N, nonostante sia denso sulla retta (tra due razionali qualsiasi ce n’è sempre un altro). R, invece, non è numerabile.

Un po’ di storia: dai pitagorici ai simboli di oggi

La scoperta che esistono grandezze incommensurabili — quantità il cui rapporto non si può esprimere come frazione — risale ai pitagorici, secondo quanto riporta Treccani. Da quella scoperta alla piena accettazione degli irrazionali come numeri a pieno titolo passa però un tempo lungo: Treccani colloca questa accettazione tra il Seicento e il Settecento, quindi molti secoli dopo. Solo nell’Ottocento la costruzione degli irrazionali diventa rigorosa: nel 1872 Dedekind pubblica Stetigkeit und irrationale Zahlen («Continuità e numeri irrazionali»), dove usa la lettera R per i razionali e la R gotica per i reali.

Anche gli altri simboli hanno una storia propria, ricostruita dall’archivio MacTutor dell’Università di St Andrews. Dedekind, in un’opera diversa del 1888 (Was ist und was sollen die Zahlen), indicò i numeri naturali con N; Peano riprese lo stesso simbolo l’anno dopo. Prima che Z e Q diventassero standard, altri matematici usavano notazioni diverse: negli anni Trenta del Novecento Landau scriveva gli interi con una Z gotica sormontata da una barra, mentre van der Waerden usava C per gli interi e la lettera greca Γ per i razionali. La forma oggi comune di Z e Q compare per la prima volta nel 1947, nel primo volume di Algèbre del gruppo di matematici noto come Bourbaki.

Uno schema di sintesi

Ogni riga della tabella contiene per intero le righe sopra di lei: un numero naturale è anche intero, razionale e reale, mentre il contrario non vale quasi mai. Riconoscere a quale insieme appartiene un numero, prima ancora di fare i conti, è quello che permette di scegliere le operazioni giuste da usare.