Equazioni differenziali: cosa sono e come funzionano

A differenza delle equazioni ordinarie, qui l’incognita è una funzione, legata dall’equazione a una delle sue derivate. È uno dei capitoli dell’analisi matematica, e descrive fenomeni che cambiano nel tempo.

Ordine e forma generale

L’ordine di un’equazione differenziale è l’ordine della derivata più alta che vi compare. Se l’equazione contiene solo la derivata prima di una funzione, è un’equazione del primo ordine; se arriva alla derivata seconda, è del secondo ordine, e così via.

Secondo Wolfram MathWorld, la forma generale di un’equazione differenziale ordinaria di ordine n si scrive F(x, y, y’, …, y^(n)) = 0, dove compaiono la funzione incognita y e le sue derivate fino all’ordine n. “Ordinaria” la distingue dalle equazioni alle derivate parziali, che coinvolgono più variabili indipendenti e restano fuori da questo Recap.

Risolvere un’equazione differenziale porta alla soluzione generale: un’intera famiglia di funzioni che contiene una costante arbitraria. Un’equazione ordinaria di ordine n ha in generale n soluzioni indipendenti tra loro, ed è per questo che porta altrettante costanti nella sua soluzione generale. Una soluzione particolare si ottiene fissando quella costante con un’informazione aggiuntiva sul problema, come una condizione iniziale.

Il metodo di separazione delle variabili

Un’equazione differenziale si dice “a variabili separabili” quando si può scrivere come il prodotto di una funzione della sola x per una funzione della sola y. In quel caso si applica il metodo di separazione delle variabili: si portano tutti i termini in y da una parte dell’equazione e tutti i termini in x dall’altra, poi si integrano separatamente i due lati.

Esempio pratico: prendiamo l’equazione y’ = (x²-4)(3y+2). Il lato destro è già scritto come il prodotto di una funzione della sola x, (x²-4), per una funzione della sola y, (3y+2): l’equazione è separabile. Si portano i termini in y a sinistra e quelli in x a destra, e si integrano i due lati separatamente. Il risultato è la soluzione generale y = (-2 + Ce^(x³-12x)) / 3, con C costante arbitraria: cambiando C si ottiene una funzione diversa all’interno della stessa famiglia di soluzioni.

Non tutte le equazioni differenziali si prestano a questo trattamento: il metodo richiede proprio quella struttura a prodotto, altrimenti servono altri strumenti. L’equazione di Bernoulli, per esempio, non è separabile, ma una sostituzione specifica la trasforma in un’equazione lineare risolvibile.

Dove si incontrano: fisica, biologia, economia

In fisica, la legge del moto di un corpo in caduta si scrive come un’equazione differenziale in cui la derivata della velocità rispetto al tempo è l’accelerazione di gravità. In biologia, un modello elementare di crescita di una popolazione parte dall’ipotesi che la velocità di crescita sia proporzionale alla dimensione della popolazione stessa; questa ipotesi porta a un’equazione differenziale del primo ordine. In economia, l’interesse composto in continuo segue la stessa logica: il saldo di un conto cresce a una velocità proporzionale al saldo stesso.

Il modello di crescita o decadimento esponenziale è, in tutti e tre i casi, un’equazione differenziale del primo ordine in cui la derivata della quantità è proporzionale alla quantità stessa. Cambia solo il segno della costante: positivo per la crescita, negativo per il decadimento. Risolvendo questo tipo di equazione compare naturalmente una funzione esponenziale.

Decadimento radioattivo e raffreddamento

Per un decadimento esponenziale, il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché la quantità si riduca della metà. Secondo OpenStax, il carbonio-14 ha un tempo di dimezzamento di circa 5.730 anni: è l’esempio classico di decadimento radioattivo modellato con un’equazione differenziale, ed è il motivo per cui la datazione al radiocarbonio funziona.

La legge di raffreddamento di Newton modella il raffreddamento di un oggetto con un’equazione differenziale in cui la velocità di raffreddamento è proporzionale alla differenza tra la temperatura dell’oggetto e quella dell’ambiente.

Le quattro relazioni viste finora, a confronto: