Equazioni differenziali del primo ordine: come si risolvono

Tre forme da riconoscere

Un’equazione differenziale del primo ordine mette in relazione una funzione incognita e la sua derivata prima. Il modo di risolverla dipende da come si riesce a riscriverla, e nei corsi introduttivi tornano tre strutture: l’equazione separabile, quella lineare e quella omogenea. Riconoscere la struttura viene prima di qualsiasi calcolo, perché ciascuna ha un procedimento proprio. Per la definizione generale di equazione differenziale e per il quadro d’insieme c’è il Recap su che cosa sono le equazioni differenziali.

Equazioni separabili

Secondo Paul’s Online Math Notes, un’equazione è separabile quando si riesce a riscriverla mettendo tutte le y, moltiplicate per la derivata, su un lato e tutte le x sull’altro. Il procedimento ha poi due mosse: si separano le variabili e si integra ciascun lato rispetto alla variabile che gli compete. Gli integrali sono quelli dell’analisi matematica, e dall’integrazione nasce una costante arbitraria. OpenStax segnala un controllo in più: dove il fattore in y si azzera nascono soluzioni costanti, da esaminare a parte. Wolfram MathWorld spiega la ragione di quel controllo, cioè che il passaggio di separazione divide per quel fattore e dividendo può perdere per strada proprio quelle soluzioni.

Esempio pratico: Paul’s Online Math Notes svolge il problema di Cauchy y′ = 6y²x con la condizione iniziale y(1) = 1/25. Separando le variabili e integrando si ottiene la soluzione implicita −1/y = 3x² + c. La condizione iniziale fissa la costante a c = −28, e la soluzione esplicita diventa y(x) = 1/(28 − 3x²). Quella funzione vale per −√(28/3) < x < √(28/3), perché agli estremi di quell’intervallo il denominatore si annulla.

Quell’ultimo passaggio fa parte della risposta. La soluzione di un problema di Cauchy arriva con l’intervallo su cui esiste, e la formula trovata ha senso solo lì dentro.

OpenStax porta un secondo caso, y′ = (x² − 4)(3y + 2), che con lo stesso metodo dà la soluzione generale y = (−2 + c·e^(x³−12x))/3, con c costante arbitraria. Il piano cartesiano dove si leggono le funzioni soluzione ha il suo Recap in geometria analitica.

Equazioni lineari e il fattore integrante

La forma standard di un’equazione lineare del primo ordine è y′ + p(t)y = g(t), con p e g funzioni continue. OpenStax parte da una scrittura equivalente, a(x)y′ + b(x)y = c(x), che diventa quella standard dividendo per a(x). A quel punto entra una funzione ausiliaria, il fattore integrante µ: moltiplicando per µ i due lati, il lato con la derivata diventa integrabile in un passaggio. Il fattore si ricava come esponenziale dell’integrale di p, e la costante che l’integrale porta con sé si può scegliere uguale a 1. Chi vuole ripassare le equazioni lineari in senso algebrico può partire dall’algebra lineare.

Esempio pratico: OpenStax applica il metodo a x·y′ + 3y = 4x² − 3x per x > 0. Dividendo per x si ottiene la forma standard, con p(x) = 3/x e q(x) = 4x − 3, e il fattore integrante calcolato per questa equazione è µ(x) = x³. Moltiplicando i due lati per x³ e integrando si arriva alla soluzione generale y = 4x²/5 − 3x/4 + c/x³. Se il problema porta una condizione iniziale, l’ultimo passo la usa per fissare c.

Il metodo esce anche dagli esercizi di manuale. Paul Dawkins lo applica a un modello di caduta con resistenza dell’aria, dove il fattore integrante porta alla soluzione generale v = 50 + c·e^(−0,196t), poi fissata dalla velocità iniziale.

Equazioni omogenee e la sostituzione v = y/x

Un’equazione del primo ordine si dice omogenea quando si scrive come y′ = F(y/x), cioè quando il secondo membro dipende soltanto dal rapporto tra y e x. Qui si cambia variabile: ponendo v = y/x l’equazione diventa separabile nelle variabili v e x, e si ricade nel procedimento già visto. Risolta l’equazione in v, si rimette y/x al posto di v per tornare alla funzione cercata. Wolfram MathWorld registra la stessa definizione e conferma che quel cambio di variabile porta a una soluzione in forma chiusa; nell’esempio con condizione iniziale svolto da Paul Dawkins, tornati da v a y, la soluzione si scrive in forma esplicita, e la condizione iniziale decide quale dei due segni della radice tenere.

Quante soluzioni ha un problema di Cauchy

Per le equazioni lineari la risposta è netta: se p(t) e g(t) sono continue su un intervallo, il problema con condizione iniziale ha una e una sola soluzione su quell’intervallo. Appena si esce dal caso lineare la garanzia si indebolisce. L’unicità vale solo localmente, su un intervallo che può essere piccolo, e a condizione che la funzione f e la sua derivata parziale rispetto a y siano continue vicino al punto iniziale. Il MIT OpenCourseWare presenta questo teorema di esistenza e unicità come un risultato tecnico centrale della teoria delle equazioni differenziali, e ne richiama la dimostrazione standard, l’iterazione di Picard, che costruisce la soluzione per approssimazioni successive.

Quando quelle ipotesi cadono, le soluzioni possono essere più di una. Paul’s Online Math Notes porta un problema in cui la derivata di f rispetto a y è discontinua in y = 0 e che ammette sia y = 0 sia y(t) = ±(2t/3)^(3/2).