Integrali: cosa sono e come si calcolano

Immagina una curva disegnata sopra un asse orizzontale: quanto vale l’area racchiusa tra quella curva e l’asse, da un punto a all’altro punto b? È da questa domanda geometrica che nasce, storicamente, il concetto di integrale definito. Secondo Treccani, l’integrale definito corrisponde proprio all’area della regione compresa tra il grafico di una funzione e l’asse delle x, in un intervallo [a, b] — ed è uno dei temi centrali dell’analisi matematica.

Il metodo per arrivarci non è nuovo di zecca. Il modo di approssimare un’area con rettangoli era già in uso, per esempio da Fermat, prima ancora che il calcolo integrale diventasse una disciplina formalizzata.

Dalla somma di rettangoli al limite

L’idea pratica è questa: si costruiscono n rettangoli sull’intervallo, ciascuno con la propria base, e si somma la loro area totale. Wolfram MathWorld chiama questa somma la somma di Riemann — l’integrale di Riemann è la definizione più semplice di integrale, quella che si incontra normalmente nel calcolo elementare. L’altezza di ogni rettangolo è il valore della funzione in un punto dell’intervallino corrispondente.

Qui entra in gioco il legame con i limiti: quando i rettangoli diventano sempre più sottili — la loro larghezza, indicata spesso con δ, tende a zero — la somma delle loro aree tende a un valore limite finito. È esattamente quel limite a chiamarsi integrale definito.

Esempio pratico: per calcolare l’area sotto la parabola y = x² tra x = 0 e x = 2, OpenStax costruisce n rettangoli stretti sotto la curva e ne somma le aree. Più n cresce, più i rettangoli diventano sottili e più la somma si avvicina a un numero preciso. Facendo tendere n all’infinito e applicando la formula della somma dei primi n quadrati, quel numero risulta esattamente 8/3, circa 2,667: è l’area esatta, non una stima.

Il teorema fondamentale: dalla primitiva alla derivata

Fare il limite delle somme ogni volta sarebbe scomodo. Il teorema fondamentale del calcolo integrale fa da ponte tra l’integrale definito e l’integrale indefinito — la primitiva della funzione — e permette di calcolare molte aree trovando una primitiva, senza passare dal limite.

Per le funzioni continue, dice Treccani, integrare e derivare sono operazioni inverse l’una dell’altra: trovare una primitiva significa percorrere all’indietro il cammino che porta dalla funzione alla sua derivata. La formula che calcola l’integrale definito come F(b) meno F(a) — dove F è una primitiva della funzione — è nota come formula di Newton-Leibniz; lo stesso teorema è conosciuto anche come teorema di Torricelli-Barrow. Sul piano cartesiano questo si traduce in un disegno familiare: l’area sotto la curva, calcolata nei due estremi dell’intervallo, dà la stessa risposta del limite delle somme.

La notazione che ha vinto

Il simbolo ∫ che si usa ancora oggi ha una data di nascita precisa. Secondo MacTutor, il 29 ottobre 1675 Gottfried Wilhelm Leibniz lo scrisse per la prima volta, in un manoscritto inedito intitolato Analyseos tetragonisticae pars secunda, per indicare l’operazione di integrazione. Due settimane dopo, l’11 novembre 1675, Leibniz affiancò al simbolo di integrale anche il simbolo dx, nella forma oggi familiare.

Isaac Newton arrivò più tardi, e con un’altra strada. Nel suo lavoro Quadratura curvarum del 1704, usò una barretta verticale sopra la variabile x per indicarne l’integrale. Per lo storico della matematica Florian Cajori, citato da MacTutor, quella notazione era difettosa: la barretta sopra la x poteva confondersi con x primo, e il rettangolo attorno al termine era difficile da riprodurre in stampa. Per questo motivo, secondo Cajori, la notazione di Newton non si diffuse, nemmeno in Inghilterra: è il simbolo di Leibniz quello rimasto in uso universale.