L'equazione di Bernoulli è un'equazione differenziale non lineare che compare nei corsi di matematica, distinta dal principio di Bernoulli studiato in fisica dei fluidi. Si presenta come y' + p(x)y = q(x)y^n, dove n è un esponente reale qualunque. Quando n vale 0 o 1 basta il metodo di un'equazione lineare comune. Per ogni altro valore di n la sostituzione v = y^(1-n) porta a un'equazione lineare di primo ordine nella funzione v, risolvibile col fattore integrante; trovata v, si rimette v = y^(1-n) per tornare a y. Il risultato finale a volte resta scritto con un integrale, perché non sempre si riduce a una formula comoda.
Punti Chiave
L'esponente n dell'equazione di Bernoulli può essere qualunque numero reale, intero o con la virgola; le funzioni p(x) e q(x) sono continue sull'intervallo dove si studia l'equazione.
Quando n vale 0 oppure 1 l'equazione è già lineare (per n = 1 anche separabile): qui la sostituzione non serve.
La sostituzione v = y^(1-n) cambia il problema, al posto dell'esponente n compare una funzione v che segue un'equazione lineare di primo ordine.
Quell'equazione lineare in v si risolve con il fattore integrante, lo stesso strumento che serve per qualsiasi altra equazione lineare di primo ordine.
Trovata v, l'ultimo passo rimette v = y^(1-n) e risolve per y, per tornare alla funzione di partenza.
Non tutte le equazioni di Bernoulli arrivano a una soluzione comoda: in certi casi il risultato resta legato a un integrale senza forma elementare.
L'Approfondimento
Due equazioni, un solo cognome
L’equazione differenziale di Bernoulli compare nei corsi di equazioni differenziali ordinarie e porta il nome del matematico svizzero Jacob Bernoulli (1654-1705). È un argomento di matematica: il principio di Bernoulli della fisica dei fluidi porta il nome di un altro membro della stessa famiglia, Daniel Bernoulli, e con questa equazione condivide solo il cognome. Per il quadro generale di questo tipo di equazioni, prima del caso particolare trattato in questo Recap, c’è equazioni differenziali.
La forma generale e il ruolo dell’esponente n
Secondo Paul’s Online Math Notes (Lamar University), Wolfram MathWorld e Mathematics LibreTexts, l’equazione di Bernoulli si scrive y’ + p(x)y = q(x)y^n, con p(x) e q(x) funzioni continue sull’intervallo considerato e n un numero reale qualsiasi: intero, con la virgola o negativo. L’esponente n decide se l’equazione è già lineare o no. Quando n vale 0 oppure 1, l’equazione è un caso particolare dell’equazione lineare di primo ordine (per n = 1 è anche a variabili separabili) e si risolve con i metodi standard dell’analisi matematica: qui la sostituzione non serve. Per ogni altro valore di n l’equazione è non lineare, e lì entra in gioco la tecnica di sostituzione descritta più avanti.
Il metodo passo per passo
Il procedimento riconduce l’equazione non lineare a una equazione lineare in un’altra funzione. Si parte dividendo l’intera equazione per y^n: il risultato è y^(-n)y’ + p(x)y^(1-n) = q(x), un passaggio di puro calcolo letterale come quello richiamato in algebra. A questo punto si introduce la sostituzione v = y^(1-n). Derivando v rispetto a x si ottiene v’ = (1-n)y^(-n)y’, una relazione che permette di sostituire il termine con la derivata. L’equazione diventa lineare di primo ordine nella funzione v, nella forma v’ + (1-n)p(x)v = (1-n)q(x): la nozione di linearità è la stessa che si studia in algebra lineare, ogni termine di primo grado nell’incognita e nella sua derivata. Da qui si risolve come qualunque equazione lineare, col fattore integrante. Risolta la lineare, basta sostituire di nuovo v = y^(1-n) per ottenere y, la funzione cercata fin dall’inizio.
Un esempio con soluzione in forma chiusa
Esempio pratico: Paul’s Online Math Notes risolve y’ + (4/x)y = x³y², con la condizione iniziale y(2) = -1 e x > 0. Qui n = 2. Dividendo per y² si ottiene y^(-2)y’ + (4/x)y^(-1) = x³; con v = y^(-1) e v’ = -y^(-2)y’, l’equazione diventa v’ - (4/x)v = -x³, lineare in v. Il fattore integrante è x^(-4), e la soluzione in v risulta v(x) = cx⁴ - x⁴ ln x. Tornando a y (v = y^(-1)) si ha y^(-1) = x⁴(c - ln x). La condizione iniziale y(2) = -1 fissa c = ln 2 - 1/16, e la soluzione finale è y(x) = -16 / [x⁴(1 + 16 ln(x/2))].
L’esempio mostra la sequenza intera: dividere, sostituire, risolvere la lineare col fattore integrante, poi tornare a y e usare la condizione iniziale solo alla fine, per fissare la costante.
Un esempio senza soluzione in forma chiusa
Esempio pratico: Mathematics LibreTexts risolve xy’ + y(x+1) + xy⁵ = 0, con y(1) = 1. Qui n = 5, e la sostituzione è v = y^(-4), con v’ = -4y^(-5)y’. Dopo la sostituzione e la riorganizzazione dei termini, l’equazione diventa v’ - [4(x+1)/x]v = 4, ancora lineare in v. La fonte segnala che l’integrale necessario a risolvere questa equazione lineare è privo di una forma chiusa elementare: la soluzione resta legata a quell’integrale piuttosto che a una formula compatta.
Il metodo funziona sempre allo stesso modo, anche quando il risultato finale resta scomodo. La sostituzione riconduce l’equazione di partenza a una lineare in ogni caso; il fatto che quella lineare, una volta risolta, torni a una formula semplice in y dipende dall’equazione originale, piuttosto che dalla tecnica usata per risolverla.
Caso
Come si riconosce
Mossa risolutiva
n = 0 oppure n = 1
l’equazione è già lineare (n = 1 anche separabile)
i metodi standard bastano da soli
n diverso da 0 e da 1
y^n rende l’equazione non lineare
sostituire v = y^(1-n), poi il fattore integrante
Da dove viene il nome
Wolfram MathWorld colloca il trattamento dell’equazione di Bernoulli dentro i testi di riferimento standard delle equazioni differenziali: un argomento di manuale, non un’elaborazione isolata. Mathematics LibreTexts avverte che il nome “equazione di Bernoulli” è stato usato in letteratura per più di un’equazione, una delle ragioni dietro la confusione col principio fisico dei fluidi. Quel principio fisico, dovuto a Daniel Bernoulli, riguarda il comportamento di un fluido in movimento e non l’equazione differenziale qui trattata, che porta invece il nome di Jacob Bernoulli, un altro membro della stessa famiglia di matematici e fisici svizzeri.
Presentazione
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✗ Mito L'equazione di Bernoulli è lo stesso argomento del principio di Bernoulli studiato in fisica.
✓ Realtà L'equazione descritta in questo testo è un capitolo delle equazioni differenziali ordinarie, intestato al matematico svizzero Jacob Bernoulli; il principio studiato in fisica dei fluidi, che lega pressione e velocità, porta invece il nome di un altro Bernoulli, Daniel, fisico della stessa famiglia.
✗ Mito La sostituzione v = y^(1-n) serve per risolvere qualunque equazione della forma y' + p(x)y = q(x)y^n.
✓ Realtà Quella sostituzione entra in gioco solo quando n è diverso da 0 e da 1. In quei due casi l'equazione è già lineare, e per n = 1 anche a variabili separabili: lì i metodi standard bastano da soli.
✗ Mito Trovata l'equazione lineare in v, la soluzione finale in y è sempre una formula semplice.
✓ Realtà Mathematics LibreTexts mostra un caso in cui, risolta la lineare in v, il risultato richiede un integrale che non si scrive con funzioni elementari: la y finale resta legata a quell'integrale invece che a una formula compatta.
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Non è il principio fisicoQuello è di Daniel Bernoulli
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L'equazione di Bernoulli è un'equazione differenziale non lineare che compare nei corsi di matematica, distinta dal principio di Bernoulli studiato in fisica dei fluidi. Si presenta come y' + p(x)y = q(x)y^n, dove n è un esponente reale qualunque. Quando n vale 0 o 1 basta il metodo di un'equazione lineare comune. Per ogni altro valore di n la sostituzione v = y^(1-n) porta a un'equazione lineare di primo ordine nella funzione v, risolvibile col fattore integrante; trovata v, si rimette v = y^(1-n) per tornare a y. Il risultato finale a volte resta scritto con un integrale, perché non sempre si riduce a una formula comoda.
Domande e risposte
Che differenza c'è tra l'equazione di Bernoulli e il principio di Bernoulli della fisica?
Il principio dei fluidi, dovuto a Daniel Bernoulli, riguarda la fisica: descrive come pressione e velocità di un fluido variano insieme lungo il moto. L'equazione differenziale trattata qui è intestata invece al matematico svizzero Jacob Bernoulli, un parente di Daniel, e appartiene a un'altra materia.
Come si riconosce un'equazione di Bernoulli?
Deve avere la forma y' + p(x)y = q(x)y^n: p e q sono funzioni continue, e l'esponente n può valere qualunque numero reale. Se n vale 0 o 1 l'equazione è già lineare; per ogni altro valore serve la sostituzione v = y^(1-n).
Perché si usa la sostituzione v = y^(1-n)?
Dividendo l'equazione per y^n e introducendo v = y^(1-n), la derivata v' prende il posto di y^(-n)y' nell'equazione di partenza. Il risultato è un'equazione lineare di primo ordine nella nuova funzione v, che si risolve con il fattore integrante.
La soluzione di un'equazione di Bernoulli ha sempre una formula semplice?
Non sempre: in un esempio di Mathematics LibreTexts l'equazione lineare trovata per v si risolve solo con un integrale che non ha una forma elementare, e la soluzione finale si lascia scritta così.
Chi ha studiato per primo l'equazione di Bernoulli?
Il nome è attribuito al matematico svizzero Jacob Bernoulli (1654-1705). Wolfram MathWorld colloca il suo trattamento nei testi di riferimento standard delle equazioni differenziali; Mathematics LibreTexts avverte che più equazioni, in epoche diverse, hanno ricevuto lo stesso nome.
Ogni Recap passa da una revisione indipendente prima della pubblicazione.
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