Trasformazione geometrica che, nel passaggio dalla figura alla sua immagine, mantiene identica la distanza tra due punti qualsiasi.

Tutti i punti della figura si spostano in blocco, con la stessa misura e verso la stessa direzione.

La figura compie un giro attorno a un centro immobile, secondo un'ampiezza angolare precisa.

La figura viene capovolta rispetto a una linea di riferimento, come nel riflesso di uno specchio.

Ingrandimento o rimpicciolimento della figura secondo un fattore di scala: la dimensione cambia, quindi non è un'isometria.

Prima si ribalta la figura rispetto a un asse, poi la si trasla parallelamente a quello stesso asse.

Congruente vuol dire stessa forma e stessa dimensione, come produce ogni isometria; simile vuol dire stessa forma e dimensione diversa, come produce una dilatazione.

Trasformazioni geometriche: traslazioni, rotazioni e simmetrie, lo schema

In 30 secondi lettura lampo

Una trasformazione geometrica trasforma una figura in un'altra, detta immagine, modificandone forma, dimensione o posizione. Tre di queste operazioni lasciano sempre uguali le lunghezze e gli angoli: la traslazione sposta ogni punto della stessa quantità, nella stessa direzione; la rotazione la fa ruotare attorno a un centro immobile; la riflessione la ribalta come in uno specchio rispetto a una linea. La dilatazione segue una logica diversa: ingrandisce o rimpicciolisce la figura, e il risultato conserva la forma originale con una grandezza differente.

Punti Chiave

Si chiama isometria una trasformazione che, passando alla figura immagine, lascia identiche le distanze fra i suoi punti.
Nella traslazione l'intera figura scorre sul piano: ogni punto avanza della stessa misura, mantenendo costante la direzione.
La rotazione gira la figura attorno a un centro che resta immobile, di un'ampiezza misurata dall'angolo di rotazione.
La riflessione produce l'immagine speculare della figura, ribaltandola rispetto a un asse.
La dilatazione cambia le dimensioni della figura secondo un fattore di scala: non rientra tra le isometrie.
Più trasformazioni si possono applicare in sequenza: componendo due riflessioni rispetto a rette che si incrociano si ottiene un'unica rotazione.

L'Approfondimento

Una trasformazione geometrica è un procedimento che cambia forma, dimensione o posizione di una figura, producendo una nuova figura chiamata immagine. Tre di queste operazioni appartengono alla stessa famiglia e lasciano invariate tanto le lunghezze quanto gli angoli della figura di partenza. Il nome tecnico è trasformazione rigida, o isometria: la figura originale e la sua immagine restano sempre congruenti, con la stessa forma e la stessa grandezza, e cambia solo la posizione sul piano.

La traslazione

Nella traslazione ogni punto della figura si sposta della stessa distanza, nella stessa direzione. Non c’è un centro attorno a cui girare né una linea rispetto a cui ribaltarsi: la figura scivola sul piano, uguale a sé stessa in ogni suo dettaglio.

Esempio pratico: far scivolare un libro sul tavolo, senza sollevarlo e senza farlo ruotare, è una traslazione. Il libro resta identico per forma e misura: cambia soltanto la sua posizione sul tavolo. Versare una bibita da un bicchiere a un altro è un’operazione diversa: il liquido prende la forma del nuovo contenitore, quindi quella trasformazione non è rigida.

La rotazione

La rotazione fa girare la figura attorno a un punto che resta fermo, il centro di rotazione. Tutto il resto della figura si muove, seguendo un’ampiezza chiamata angolo di rotazione: è l’angolo formato dalle linee che uniscono un punto della figura originale al centro, e il centro al punto corrispondente della figura ruotata. Anche la rotazione, come la traslazione, lascia intatte forma e misura: chi vuole ripassare la differenza con una figura ingrandita può confrontarla con i criteri di similitudine dei triangoli, dove la forma si mantiene ma la grandezza no.

La riflessione

La riflessione, o simmetria assiale, capovolge la figura rispetto a una linea chiamata asse di riflessione, ottenendo l’immagine speculare dell’originale. Il caso più semplice da seguire in coordinate cartesiane è la riflessione rispetto all’asse x: la coordinata y di ogni punto cambia segno, mentre la coordinata x resta la stessa. Chi non ha ancora chiaro come si leggono le coordinate di un punto può ripassarlo sul piano cartesiano, dove questi spostamenti si seguono riga per riga.

Trasformazione	Che cosa si muove	Dimensione della figura
Traslazione	Ogni punto, stessa distanza e direzione	Invariata
Rotazione	La figura, attorno a un centro fisso	Invariata
Riflessione	La figura, ribaltata su un asse	Invariata
Dilatazione	La figura, ingrandita o rimpicciolita	Cambia secondo k

La dilatazione, l’eccezione

La dilatazione, o omotetia, ingrandisce o rimpicciolisce la figura secondo un fattore di scala, indicato con k. Con k tra 0 e 1 la figura ottenuta è più piccola dell’originale; con k maggiore di 1 è più grande. A differenza delle trasformazioni rigide, la dilatazione tocca la dimensione della figura: il risultato ha la stessa forma dell’originale e una grandezza diversa, quindi è simile, non congruente. È anche il punto in cui la geometria delle trasformazioni incontra la geometria analitica, dove le stesse operazioni si scrivono come coordinate che cambiano secondo una regola. Il centro della dilatazione e il ruolo del segno di k si approfondiscono nel Recap sulle dilatazioni geometriche.

Comporre più trasformazioni

Si parla di composizione quando su una stessa figura si applicano più trasformazioni, una dopo l’altra. La glisso-riflessione unisce una riflessione e una traslazione: prima la figura viene ribaltata rispetto a un asse, poi spostata parallelamente a quello stesso asse. Rientra tra le isometrie elementari insieme a traslazione, rotazione, riflessione e alla trasformazione identica, che lascia la figura esattamente dov’era.

Esempio pratico: due riflessioni fatte una dopo l’altra, rispetto a due rette che si incrociano, danno lo stesso risultato di un’unica rotazione: il centro coincide col punto in cui le due rette si incontrano. Due operazioni elementari, applicate in sequenza, possono coincidere con una terza operazione elementare presa da sola.

Riconoscere a colpo d’occhio una trasformazione aiuta anche a leggere le dimostrazioni di geometria euclidea, dove la congruenza fra figure si stabilisce confrontando lati e angoli corrispondenti, lo stesso confronto che separa un’isometria da una dilatazione.

Presentazione

Slide pronte da scaricare e fare tue in PowerPoint o Google Slides, con le note del relatore. Scegli il taglio Lampo o quello Completo.

Slide 2 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Che cosa resta sempre uguale, quando una figura si trasforma?

Slide 3 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Spostare, girare, specchiare, ridimensionare

Slide 4 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Capitolo 01: Che cos'è una trasformazione

Slide 5 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Isometrie conservano, la dilatazione no

Slide 6 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Capitolo 02: Le tre trasformazioni rigide

Slide 7 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Spostare una figura sul piano

Slide 8 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Direzione · Centro · Asse

Slide 9 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Capitolo 03: La dilatazione, l'eccezione

Slide 10 della presentazione su Trasformazioni geometriche: La dilatazione non conserva la dimensione della figura.

Slide 11 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Capitolo 04: Comporre più trasformazioni

Slide 12 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Combinare trasformazioni elementari: Glisso-riflessione, Due riflessioni, Identità

Slide 13 della presentazione su Trasformazioni geometriche: Una figura viene dilatata con fattore di scala k uguale a 2. Che cosa succede?

Slide 14 della presentazione su Trasformazioni geometriche: E adesso, il ripasso

Lampo10 slideIl filo essenziale, per presentarlo in classe Completa14 slideTutti i capitoli e gli approfondimenti

Falsi miti

✗ Mito Qualunque trasformazione geometrica cambia solo la posizione di una figura, mai la sua dimensione.

✓ Realtà Per la dilatazione non vale: la figura cambia misura in base a un fattore di scala. La figura che ne risulta è simile, non congruente, all'originale, mentre le tre trasformazioni rigide lasciano dimensione e forma invariate.
✗ Mito Girare una figura e ribaltarla sono la stessa operazione.

✓ Realtà Nella rotazione la figura resta sul piano e compie un giro attorno a un punto fermo, senza mai capovolgersi. Nella riflessione invece viene ribaltata rispetto a una linea, come davanti a uno specchio: una figura ruotata si sovrappone all'originale facendola scorrere sul tavolo, una figura riflessa richiede di sollevarla e voltarla.
✗ Mito Comporre due trasformazioni dà sempre un risultato complicato, diverso dalle trasformazioni di partenza.

✓ Realtà Due riflessioni, fatte una dopo l'altra rispetto a rette che si incrociano, danno lo stesso effetto di una singola rotazione, con centro proprio nel punto d'incrocio. Una sequenza di trasformazioni rigide può coincidere con una sola trasformazione dello stesso tipo elementare.

Mappa concettuale

Trascina lo sfondo per muoverti e i nodi per riposizionarli; usa − e + per chiudere e aprire i rami.

Quiz: mettiti alla prova

Rispondi alle domande per verificare quanto hai imparato: riceverai subito la correzione e una breve spiegazione.

Voto 0/10 0/5

1 Che cosa resta sempre uguale, passando da una figura alla sua immagine isometrica?

2 In una traslazione, come si muovono i punti della figura?

3 Che cos'è il centro di rotazione?

4 Vero o falso: la dilatazione produce sempre una figura congruente a quella di partenza.

5 Che cosa si ottiene componendo due riflessioni rispetto a due rette che si incrociano?

Flashcards

Tocca la carta per girarla e verifica se ricordi la risposta, poi passa alla successiva.

1 / 8

Spiegalo con parole tue

Il test definitivo: se sai spiegarlo con parole semplici, lo hai capito davvero. Scrivi la tua spiegazione, poi confrontala col Recap.

La tua spiegazione resta salvata solo su questo dispositivo.

Domande e risposte

Qual è la differenza tra isometria e trasformazione rigida?

Nessuna: sono due nomi per lo stesso concetto. Entrambi indicano una trasformazione in cui, dalla figura di partenza alla sua immagine, lunghezze e angoli restano gli stessi.

La dilatazione è un'isometria?

No, perché modifica la misura della figura seguendo un fattore di scala. Il risultato ha la stessa forma dell'originale ma una grandezza diversa, quindi è simile e non congruente.

Come si riconosce una rotazione da una riflessione?

Nella rotazione la figura rimane sul piano e gira attorno a un centro fisso: per sovrapporla all'originale basta farla scorrere e girare. Nella riflessione la figura viene ribaltata rispetto a una linea, e per sovrapporla all'originale servirebbe sollevarla e voltarla, come davanti a uno specchio.

Che cos'è una glisso-riflessione?

È una trasformazione in due tempi: prima una riflessione rispetto a un asse, poi uno spostamento parallelo a quello stesso asse. Rientra tra le isometrie, insieme a traslazione, rotazione e riflessione.

Che cosa succede componendo più trasformazioni in sequenza?

La figura passa attraverso più trasformazioni applicate una dopo l'altra, e il risultato finale dipende dall'ordine e dal tipo di ciascuna. In un caso la composizione si semplifica: due riflessioni, se le rette di riferimento si incontrano, equivalgono a una sola rotazione.