Piano cartesiano: cos'è e come funziona

Due rette che si incontrano

Il piano cartesiano è il piano formato dall’incontro di due assi di coordinate perpendicolari tra loro, come scrive Cuemath. L’asse orizzontale si chiama asse x, quello verticale asse y; il punto in cui i due assi si incontrano è l’origine, le cui coordinate sono (0, 0).

Secondo Treccani, per trovare le coordinate di un punto P si tracciano le parallele agli assi: le misure dei segmenti che si formano, OP′ e OP″, sono le due coordinate del punto. Così si crea una corrispondenza tra ogni punto del piano e ogni coppia di numeri reali.

Ascissa e ordinata

Treccani chiama il primo numero di una coppia di coordinate ascissa e il secondo ordinata: nella pratica scolastica italiana, x è sempre l’ascissa e y è sempre l’ordinata. La retta su cui si misura l’ascissa è l’asse delle ascisse (asse x); l’altra è l’asse delle ordinate (asse y). Cuemath definisce la distanza in modo simmetrico: x è la distanza del punto dall’asse y, y è la distanza del punto dall’asse x.

Esempio pratico: per segnare il punto (3, 2) si parte dall’origine, ci si sposta di 3 unità lungo l’asse x e poi di 2 unità verso l’alto, parallelamente all’asse y. Il punto che si trova lì ha ascissa 3 e ordinata 2.

I quattro quadranti

Gli assi dividono il piano in quattro regioni infinite, i quadranti, numerati da I a IV a partire da quello in alto a destra e procedendo in senso antiorario, secondo Math.net. L’origine non appartiene a nessuno dei quattro. Ogni quadrante ha una combinazione fissa di segni:

Un punto con ascissa negativa e ordinata positiva, per esempio, sta sempre nel secondo quadrante: basta guardare i segni delle sue coordinate per sapere in quale delle quattro zone cercarlo.

Da dove viene il nome «cartesiano»

Il nome richiama René Descartes, che secondo MacTutor pubblicò a Leida nel 1637 La Géométrie, l’opera da cui deriva quella che oggi si chiama geometria cartesiana. Il termine deriva dalla forma latinizzata del nome di Descartes, «Cartesius». MacTutor segnala però che alcune idee del trattato potrebbero derivare da un lavoro precedente del matematico medievale Nicola Oresme, anche se in quel lavoro non c’è traccia del collegamento tra algebra e geometria; e che il matematico inglese John Wallis sostenne con forza che quelle idee fossero di Thomas Harriot, una controversia storica che MacTutor riporta senza darla per vera. Il metodo resta attribuito a Descartes, con i debiti verso lavori precedenti che la stessa MacTutor segnala.

A cosa serve, oltre a segnare punti

Il piano cartesiano da solo permette già di collocare figure geometriche note e di descriverne le proprietà con i numeri: i teoremi e i postulati della geometria euclidea, per esempio, valgono anche per i triangoli disegnati sul piano, e le proporzioni del teorema di Talete si possono verificare leggendo le coordinate dei punti coinvolti. Quando il piano cartesiano si usa per descrivere rette e curve con equazioni, si entra invece nella geometria analitica, un passo oltre la semplice lettura di un punto.

Due triangoli disegnati sul piano, con vertici in punti diversi, si confrontano con i criteri di similitudine dei triangoli: le coordinate permettono di calcolare esattamente le misure che quei criteri richiedono, senza dover disegnare tutto a mano.