Criteri di similitudine dei triangoli: primo, secondo e terzo

Che cosa rende simili due triangoli

Due poligoni sono simili quando hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti nello stesso rapporto. Nei triangoli questa doppia condizione riguarda sei misure, tre angoli e tre lati, ma controllarle tutte sarebbe lavoro sprecato: il triangolo è una figura rigida, e poche misure ne fissano la forma. I criteri di similitudine dicono quali.

Nella pratica degli esercizi il ragionamento parte dalla figura. Si guarda quali dati sono segnati — angoli uguali, lunghezze note, un lato in comune — e si sceglie il criterio che chiede esattamente quelli. Una volta che il criterio è soddisfatto, valgono tutte le conseguenze: anche gli angoli non controllati sono congruenti, anche i lati non misurati stanno nello stesso rapporto. Da quel momento la figura si può usare per calcolare una lunghezza mancante, che è il motivo per cui questi criteri compaiono in così tanti esercizi.

Attenzione a non confondere la similitudine con la congruenza. Due triangoli congruenti si sovrappongono: lati e angoli coincidono misura per misura. Due triangoli simili possono avere dimensioni molto diverse, e la congruenza è il caso particolare in cui il rapporto fra i lati corrispondenti vale 1. Le altre proprietà di base del triangolo, dalla somma degli angoli interni ai postulati su cui tutto questo si appoggia, stanno nel Recap sulla geometria euclidea.

Primo criterio: due angoli congruenti (AA)

Due triangoli che hanno due angoli corrispondenti congruenti sono simili. È l’enunciato più economico dei tre, e anche il più usato, perché gli angoli uguali si riconoscono a occhio nelle figure con rette parallele o con vertici opposti.

Il criterio si ferma a due angoli perché il terzo non è un dato libero. La somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre un angolo piatto, 180 gradi: appena due angoli sono noti, il terzo è quello che completa la somma. Con 32 gradi e 64 gradi, per esempio, resta soltanto il valore 84. Per questo l’enunciato che chiede tre angoli congruenti, indicato con la sigla AAA, è corretto ma ridondante rispetto ad AA: la terza verifica non aggiunge informazione.

Esempio pratico: nel triangolo ABC gli angoli in A e in B misurano 50 gradi e 70 gradi. Nel triangolo DEF gli angoli in D ed E misurano gli stessi valori. Due coppie corrispondono, quindi i triangoli sono simili e il terzo angolo vale 60 gradi in entrambi. Le misure sono scelte per spiegare il criterio, non ricavate da una misurazione.

Secondo criterio: due lati e l’angolo compreso (LAL)

Il secondo criterio chiede due condizioni assieme: due lati di un triangolo proporzionali ai corrispondenti dell’altro, e congruente l’angolo compreso fra quei due lati. In italiano si abbrevia LAL, lato-angolo-lato; nei testi inglesi si trova come SAS, side-angle-side.

La parola «compreso» è la parte da non perdere. L’angolo deve essere quello formato dai due lati che si stanno confrontando, non uno qualunque: spostando la verifica su un altro angolo la condizione smette di garantire la similitudine. In un esercizio conviene segnare sulla figura i due lati e poi l’angolo che sta in mezzo, prima di scrivere la proporzione.

Esempio pratico: nel triangolo PQR il lato PQ misura 8 cm, il lato PR misura 6 cm e l’angolo in P misura 40 gradi. Nel triangolo LMN il lato LM misura 4 cm, il lato LN misura 3 cm e l’angolo in L misura 40 gradi. I due rapporti sono 8/4 e 6/3, entrambi uguali a 2, e l’angolo compreso coincide: il secondo criterio è soddisfatto. Le lunghezze sono costruite per far tornare il rapporto 2 a 1, non prese da una misurazione.

Terzo criterio: tutti i lati proporzionali (LLL)

Quando tutti e tre i lati di un triangolo sono proporzionali ai tre lati corrispondenti dell’altro, i due triangoli sono simili. Sigla italiana LLL, lato-lato-lato; in inglese SSS. Nessun angolo entra nella verifica, e questo lo rende il criterio adatto alle figure in cui si conoscono solo lunghezze.

Si calcolano i tre rapporti fra lati corrispondenti e si controlla che diano lo stesso numero. Se uno esce diverso, i triangoli non sono simili.

Esempio pratico: il triangolo ABC ha i lati 9 cm, 12 cm e 15 cm; il triangolo DEF ha i lati 6 cm, 8 cm e 10 cm. I rapporti sono 9/6, 12/8 e 15/10, tutti uguali a 1,5: il terzo criterio è soddisfatto e i triangoli sono simili con rapporto 3 a 2. Anche qui le misure servono a mostrare il calcolo.

Il triangolo rettangolo e l’altezza sull’ipotenusa

In un triangolo rettangolo ABC, con l’angolo retto in C, l’altezza che parte da C cade sull’ipotenusa AB in un punto D e divide la figura in due triangoli più piccoli. Quei due triangoli sono simili fra loro e simili al triangolo da cui nascono. La ragione è il primo criterio: ciascuno ha un angolo retto e condivide col triangolo grande uno degli angoli acuti, quindi due coppie di angoli corrispondono. Da questa similitudine si ricava una relazione usata spesso negli esercizi. Confrontando i due triangoli piccoli si ottiene la proporzione fra i segmenti dell’ipotenusa e l’altezza, AD sta a CD come CD sta a BD, e quindi CD² = AD · BD. L’altezza relativa all’ipotenusa è la media geometrica dei due segmenti in cui divide l’ipotenusa stessa.

Esempio pratico: se l’altezza divide l’ipotenusa in due segmenti di 4 cm e 9 cm, il suo quadrato vale 4 × 9, cioè 36, e l’altezza misura 6 cm. I numeri sono scelti per dare un risultato intero, non letti da una fonte. Lo stesso gioco di proporzioni, trasferito dai lati alle funzioni di seno e coseno, è il punto di partenza della trigonometria.

Da dove arrivano i tre criteri

I criteri non sono regole aggiunte dall’esterno: si dimostrano. La via classica passa dalla proporzionalità fra segmenti tagliati da rette parallele, cioè dal teorema di Talete, che negli Elementi di Euclide corrisponde alla proposizione VI.2 e fa da base alle dimostrazioni dei tre enunciati. Tracciando una parallela a un lato del triangolo si ottengono segmenti proporzionali, e da quella proporzione si costruisce passo per passo ciascun criterio.

Il collegamento spiega anche perché la similitudine si incontra presto nel programma. È lo strumento che permette di confrontare figure a scale diverse, e lo stesso principio torna quando si passa alle tre dimensioni e si confrontano solidi simili, come nel Recap sulla geometria dei solidi.