Omotetia: cos'è e come funziona in geometria

Centro e rapporto, i due ingredienti

Un’omotetia si costruisce con due soli dati: un punto fisso, il centro, e un numero reale k diverso da zero, il rapporto (anche chiamato fattore di scala). Fissati questi due elementi, ogni punto P della figura di partenza viene spostato lungo la retta che lo unisce al centro, fino a un nuovo punto P′ la cui distanza dal centro è quella di P moltiplicata per il valore assoluto di k.

Il rapporto k decide quanto la figura cresce o si restringe. Con k maggiore di 1 ogni lunghezza aumenta e la figura si ingrandisce; con k compreso tra 0 e 1 ogni lunghezza si riduce. In entrambi i casi la figura di arrivo resta simile a quella di partenza. La definizione richiede solo che k sia un numero reale diverso da zero; non pone altre condizioni sul segno. Le fonti disponibili si fermano a questa definizione generale: non includono un esempio numerico per un rapporto negativo.

Che cosa cambia, e che cosa resta uguale

L’omotetia conserva le ampiezze degli angoli: una figura dilatata ha gli stessi angoli interni dell’originale. Conserva anche il parallelismo, cioè trasforma ogni retta in una retta a essa parallela. Le lunghezze dei segmenti, invece, vengono moltiplicate per il valore assoluto di k; resta però costante il rapporto tra due segmenti corrispondenti qualunque, prima e dopo la trasformazione.

Questo è il punto in cui l’omotetia si separa dalle isometrie, cioè le trasformazioni che conservano sia la forma sia la dimensione di una figura: traslazioni, rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. Una figura spostata con un’isometria è congruente all’originale, sovrapponibile punto per punto. Una figura dilatata con un’omotetia resta simile all’originale, con la dimensione moltiplicata per k. Il nome che prende la somma di queste due trasformazioni, un’omotetia più un’isometria, è similitudine.

Il calcolo nel piano cartesiano

Quando il centro dell’omotetia coincide con l’origine degli assi, il calcolo è diretto: si moltiplicano entrambe le coordinate del punto per il rapporto k. Un punto (−4,6), dilatato dall’origine con k=2, diventa (−8,12): entrambe le coordinate raddoppiano. Un punto (9,−13), dilatato con k=0,5, diventa un punto con x=4,5 e y=−6,5: entrambe le coordinate si dimezzano.

Quando il centro non è l’origine, il procedimento ha tre tappe: prima si calcola la differenza tra il punto e il centro, poi quella differenza si moltiplica per k, infine il centro torna a sommarsi al risultato ottenuto.

Esempio pratico: prendiamo un centro in (1,2) e un rapporto k=3, e dilatiamo il punto (3,4). Primo passo, si sottrae il centro: (3−1, 4−2) = (2,2). Secondo passo, si moltiplica per k: (2×3, 2×3) = (6,6). Terzo passo, si riaggiunge il centro: (6+1, 6+2) = (7,8). Il punto immagine è (7,8). Il calcolo è nostro: mostra come si applica la regola generale. La fonte fornisce la formula; il conto con questi numeri è un’applicazione fatta per illustrarla.

Un trattamento più ampio delle trasformazioni applicate a figure intere nel piano cartesiano si trova nella pagina di geometria analitica.

Omotetia, dilatazione, similitudine: i nomi che si incrociano

Nei manuali italiani «omotetia» è il termine standard, e copre sia l’ingrandimento sia la riduzione. In alcuni dizionari matematici di lingua inglese, però, «dilation» in senso stretto indica solo il caso k>1 (l’ingrandimento), mentre per 0<k<1 si usa un termine distinto, «compression» (riduzione). È una distinzione terminologica minoritaria: la maggior parte delle fonti, compresi i manuali di geometria per le scuole superiori americane, tratta ingrandimento e riduzione come un’unica famiglia, la dilatazione, distinta per il valore di k: è la convenzione più diffusa.

Vale la pena distinguere anche omotetia e similitudine, perché i due termini si confondono spesso. L’omotetia è un singolo tipo di trasformazione: centro più rapporto k, niente altro. La similitudine è la famiglia più larga, quella a cui l’omotetia si affaccia quando al cambio di scala si somma pure uno spostamento o una rotazione. Chi ha approfondito i criteri per stabilire quando due triangoli sono simili trova lo stesso concetto, applicato a un caso particolare, nella pagina sui criteri di similitudine dei triangoli.

Dove si incontra, fuori dai libri

L’omotetia, con altro nome, è ovunque si debba cambiare la scala di un oggetto senza deformarlo. I cartografi la usano per ridurre il territorio reale fino a farlo stare su una mappa o su uno schermo: la forma delle coste e dei confini resta riconoscibile, cambia solo la misura. Gli architetti costruiscono modellini in scala ridotta degli edifici, per vedere come apparirà la costruzione prima di realizzarla. In campo medico, chi legge immagini da risonanza magnetica o da TAC ingrandisce o rimpicciolisce le immagini di organi e tessuti per esaminarli meglio, senza che la forma osservata cambi.

Chi vuole ripassare da dove nasce questa famiglia di trasformazioni, con gli angoli e le rette parallele alla base di tutto, può ripartire dalla pagina di geometria euclidea.

Le isometrie che conservano anche le misure, cioè traslazioni, rotazioni e riflessioni, hanno il quadro completo nella pagina sulle trasformazioni geometriche, il capitolo a cui l’omotetia si aggiunge come approfondimento.