Statistica descrittiva: campionamento, variabili e grafici

Popolazione, campione e le parole da sapere

Secondo il manuale open access Introductory Statistics 2e di OpenStax, la statistica si occupa di raccogliere, analizzare, interpretare e presentare i dati.

Dentro questa disciplina la statistica descrittiva ha un compito circoscritto: organizzare i dati raccolti e sintetizzarli. Il punto di partenza è la popolazione, l’insieme completo delle persone, delle cose o degli oggetti su cui si indaga; osservarla per intero capita raramente, e allora si studia un campione, una porzione selezionata da quella popolazione più grande. Treccani lo definisce un gruppo di unità elementari che costituisce un sottoinsieme della popolazione. Da qui nascono due termini che tengono i conti separati: un parametro è una caratteristica numerica dell’intera popolazione, mentre una statistica, nel senso tecnico della parola, è un numero che descrive una proprietà del campione e serve a stimare il parametro che nessuno riesce a calcolare direttamente.

Esempio pratico: la popolazione sono i 900 studenti di una scuola e l’indagine misura quante ore dormono. Le ore medie calcolate sui 60 studenti intervistati sono una statistica; la media vera di tutti i 900 è il parametro, e resta sconosciuta.

Una variabile è la caratteristica o la misura che si rileva su ogni unità della popolazione: le ore di sonno, il colore degli occhi, il voto di matematica. I dati di un’indagine finiscono in una tabella con una riga per unità e una colonna per variabile, la forma che usano anche i database relazionali.

Statistica descrittiva e inferenziale

Il confine fra le due parti della statistica passa dalla domanda a cui si risponde. La descrittiva lavora sui dati che si hanno in mano e li riassume. L’inferenziale, scrive Treccani, parte da campioni di dati scelti scientificamente per arrivare a conclusioni valide anche per la popolazione intera, più ampia del campione osservato; e per farlo, aggiunge OpenStax, usa metodi formali basati sulla probabilità che stabiliscono quanto ci si può fidare di quelle conclusioni.

	Statistica descrittiva	Statistica inferenziale
Domanda	Come sono fatti questi dati?	Che cosa possiamo dire della popolazione?
Oggetto	I dati raccolti	Il campione, per stimare il parametro
Strumenti	Classificazione, indici di sintesi, grafici	Metodi formali basati sulla probabilità

Le due si completano a vicenda. Lo stesso insieme di dati, nota Treccani, può essere trattato come popolazione o come campione a seconda del contesto: i voti di una classe sono la popolazione se la domanda riguarda quella classe, e un campione se la domanda riguarda la scuola.

I tipi di variabili

Prima di calcolare qualsiasi cosa, bisogna sapere che genere di dato si ha davanti. OpenStax separa i dati qualitativi, che nascono dal classificare o descrivere attributi della popolazione, dai dati quantitativi, che sono sempre numeri ottenuti contando o misurando un attributo.

Dentro i quantitativi la divisione prosegue. I dati che si ottengono contando, come il numero di oggetti, sono discreti: una variabile discreta assume soltanto certi valori specifici e non quelli intermedi. I dati che possono includere frazioni, decimali o numeri irrazionali, tipicamente frutto di una misura, sono continui: la variabile continua assume qualsiasi valore dentro un intervallo. La distinzione ricalca quella fra gli insiemi numerici che si studiano in matematica.

Tipo di dato	Come nasce	Esempi
Qualitativo	Classificando o descrivendo un attributo	Colore degli occhi, categoria di appartenenza
Quantitativo discreto	Contando	Numero di fratelli, numero di libri letti
Quantitativo continuo	Misurando	Altezza, tempo di reazione, temperatura

Alle variabili qualitative si applica poi il livello di misurazione. La dispensa Data Science for Psychologists di Corrado Caudek chiama scala nominale il livello più semplice, quello che classifica le osservazioni in categorie fra cui non c’è un ordine. La scala ordinale classifica allo stesso modo, ma le categorie hanno anche un ordine fra loro, come accade ai numeri ordinali.

Esempio pratico: il colore della maglietta è una scala nominale, perché rosso e verde non si mettono in fila. Il giudizio di un questionario fra «per niente», «poco», «molto» è una scala ordinale: le categorie restano categorie, ma hanno un verso.

Come si estrae un campione

Chi entra nel campione si decide prima di raccogliere i dati, e il metodo scelto va dichiarato insieme ai risultati. Quando si legge una ricerca, il metodo e chi l’ha pubblicata sono due cose da controllare: la stessa attenzione che serve per valutare le fonti di una ricerca scolastica.

Metodo	Come funziona
Casuale semplice	Si estraggono n unità e ogni possibile gruppo di n individui ha la stessa probabilità di qualsiasi altro gruppo di n
Stratificato	La popolazione si divide in strati omogenei al loro interno e da ciascuno si estrae un numero di unità proporzionato
A grappoli	La popolazione si divide in grappoli, per esempio per vicinanza geografica, e alcuni grappoli interi vengono scelti a caso con tutte le unità dentro
Sistematico	Si parte da un punto scelto a caso in un elenco della popolazione e si prende un’unità ogni n, a intervalli regolari

Il campionamento stratificato e quello a grappoli si somigliano nella forma e cambiano nel risultato: nel primo si prende una parte di ogni sottogruppo, nel secondo si prendono alcuni sottogruppi al completo. Nel campionamento a grappoli ogni grappolo viene trattato come un’unica unità di campionamento.

Sintetizzare i dati con pochi numeri

Un elenco di 300 valori non si legge. Gli indici di posizione centrale lo riassumono, con tre definizioni che non coincidono: la media si calcola sommando tutti i valori e dividendo per il loro numero; la mediana è il valore che, ordinati i dati, li divide in due metà di uguale numerosità; la moda è il valore che compare più frequentemente. Sullo stesso insieme di dati i tre indici possono cadere in punti lontani fra loro, e un riassunto che ne riporti uno solo nasconde la forma della distribuzione.

I grafici della statistica descrittiva

OpenStax elenca i grafici che servono a riassumere e organizzare i dati: diagramma a punti, istogramma, diagramma a barre, grafico a foglie, diagramma a torta, poligono di frequenza e box plot. Tre di questi coprono la gran parte dei casi scolastici.

Il diagramma a barre rappresenta soprattutto dati qualitativi: una barra per ogni modalità, lunga in proporzione alla frequenza di quella modalità.

L’istogramma è un diagramma cartesiano che si usa quando l’intervallo dei valori di una variabile viene diviso in classi, di ampiezza uguale o diversa. È formato da rettangoli adiacenti, appoggiati l’uno all’altro, disposti su un asse orizzontale e uno verticale.

Sull’asse orizzontale di un istogramma sta la grandezza misurata, su quello verticale la frequenza, che può essere assoluta, relativa o percentuale. Per restare leggibile il grafico usa in genere da 5 a 15 barre, cioè da 5 a 15 classi.

Il box plot, o diagramma a scatola e baffi, mostra visivamente come si concentrano i dati. Lo disegnano cinque valori: il minimo, il primo quartile, la mediana, il terzo quartile e il massimo. La scatola copre la parte centrale della distribuzione e i baffi arrivano agli estremi, così si vede a occhio in quale zona si addensano i valori.

Esempio pratico: per i colori preferiti di una classe si usa un diagramma a barre, perché il dato è qualitativo. Per le altezze della stessa classe, divise in fasce di 5 centimetri, si usa un istogramma. Se interessa dove si concentrano le altezze, il box plot lo dice con cinque numeri.