Progressioni aritmetiche e geometriche: cosa sono e come si calcolano

Cos’è una progressione numerica

Una successione numerica è semplicemente un elenco ordinato di numeri. Quando quell’elenco segue una regola fissa, si parla di progressione: tra gli insiemi numerici studiati a scuola, le progressioni sono il caso in cui l’ordine non è casuale ma generato da un’operazione che si ripete sempre uguale, termine dopo termine. Esistono due famiglie principali: la progressione aritmetica, in cui l’operazione che collega un termine al successivo è un’addizione, e la progressione geometrica, in cui è una moltiplicazione.

La progressione aritmetica: la ragione che si somma

In una progressione aritmetica la differenza tra ogni termine e quello precedente resta sempre la stessa. Quella differenza costante si chiama ragione: nella sequenza 5, 7, 9, 11, 13, 15 la ragione è 2, perché ogni numero si ottiene aggiungendo 2 al precedente.

Per trovare un termine qualunque senza scrivere tutta la sequenza si usa il termine generale: a_n = a1 + (n-1)d, dove a1 è il primo termine, d è la ragione e n la posizione del termine che si cerca. Scrivere una regola con lettere al posto dei numeri è lo stesso passaggio che si studia in algebra: una formula valida per qualsiasi posizione, non solo per il caso scritto a mano.

La somma di una progressione aritmetica

Per sommare più termini aritmetici senza scriverli uno per uno, si usa S_n = n(a1+an)/2: si moltiplica quanti termini ci sono per la somma tra il primo e l’ultimo, poi si divide per due.

Esempio pratico: nella progressione 2, 5, 8, 11, 14 (cinque termini, ragione 3) la somma si ottiene così: S_5 = 5 × (2+14) / 2 = 5 × 16 / 2 = 40. Non serve sommare i cinque numeri uno per uno: bastano il primo termine, l’ultimo e quanti sono.

La progressione geometrica: la ragione che moltiplica

In una progressione geometrica i numeri sono diversi da zero, e si passa da un termine al successivo moltiplicando sempre per lo stesso numero fisso: la ragione. Nella sequenza 2, 6, 18, 54 la ragione è 3, perché ogni termine è il precedente moltiplicato per 3.

Il termine generale di una progressione geometrica è a_n = a1 · q^(n-1), con a1 primo termine e q ragione. A seconda del valore di q la sequenza rappresenta una crescita esponenziale, quando q è maggiore di 1, oppure un decadimento esponenziale, quando q sta tra 0 e 1: lo stesso comportamento che si incontra studiando esponenziali e logaritmi.

La somma di una progressione geometrica, finita e infinita

Con una ragione diversa da 1, il totale dei primi n termini di una progressione geometrica si calcola con S_n = a1 · (1-q^n) / (1-q).

Quando invece il valore assoluto della ragione è minore di 1, succede qualcosa che nella progressione aritmetica non può succedere: anche sommando infiniti termini, uno via l’altro per sempre, il risultato resta un numero finito. In quel caso la somma di tutta la progressione vale a1 / (1-q), perché i termini diventano via via più piccoli e si avvicinano a zero senza mai toccarlo davvero. È il calcolo che serve, per esempio, a determinare il valore attuale di una rendita perpetua, cioè un pagamento che si ripete ogni anno all’infinito.

Quando la ragione supera 1: il problema della scacchiera

Il caso opposto, ragione maggiore di 1, produce una crescita che si allontana in fretta dall’intuizione comune. Il problema classico lo mostra bene: si mette 1 chicco di grano sulla prima casella di una scacchiera e si raddoppia a ogni casella successiva, fino alla sessantaquattresima. La prima versione scritta nota di questo racconto risale al 1256, attribuita a Ibn Khallikan.

Il totale dei chicchi sulle 64 caselle è 2^64 - 1, cioè 18.446.744.073.709.551.615: un numero che si scrive in fretta con una formula, ma che nessuno riuscirebbe a contare a mano. È un caso particolare della stessa somma geometrica vista sopra, con primo termine 1 e ragione 2, ed è ancora oggi un modo diretto per mostrare quanto rapidamente crescono le progressioni geometriche con ragione superiore a 1.

Una crescita dello stesso tipo, anche se molto più lenta, governa l’interesse composto: gli interessi non si calcolano solo sul capitale iniziale ma anche su quelli già maturati nei periodi precedenti, e anno dopo anno anche l’interesse aggiunto comincia a sua volta a produrre altro interesse. Lo stesso meccanismo, applicato al costo di un prestito come un mutuo, serve a calcolarne il tasso annuo effettivo.

Aritmetica contro geometrica: la stessa struttura, un’operazione diversa

Le due famiglie di progressioni condividono l’impalcatura — un primo termine, una ragione, un termine generale, una somma — ma l’operazione che lega un termine al successivo cambia tutto il comportamento della sequenza.

Chi ha già incontrato un’altra regola ricorsiva, quella della sequenza di Fibonacci, trova un terzo caso utile per il confronto: lì ogni termine non dipende da un’unica ragione fissa, ma dalla somma dei due termini precedenti, né un’addizione costante né una moltiplicazione costante.