Logaritmi ed esponenziali: cosa sono e a cosa servono davvero

Due facce della stessa funzione

Un esponenziale parte da una base fissa e da un esponente che cambia: 2 elevato a x raddoppia il risultato a ogni passo in più sull’esponente. Un logaritmo fa il percorso contrario: chiede a quale potenza bisogna elevare la base per arrivare a un certo numero. Se 2 al cubo fa 8, il logaritmo in base 2 di 8 è 3. Applicate in sequenza, le due operazioni si annullano a vicenda.

Il legame tra le due non è un dettaglio da esercizio: è il motivo per cui un logaritmo compare ogni volta che un fenomeno cresce o si riduce moltiplicando per lo stesso fattore a ogni passo, invece di aggiungere sempre la stessa quantità.

Napier e la fatica dei calcoli

John Napier pubblicò i logaritmi nel 1614, nella Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, come riporta la biografia di Napier del MacTutor History of Mathematics. Napier stesso spiegò di averli ideati per eliminare la fatica dei calcoli con numeri grandi: moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radice.

L’idea era sostituire numeri che richiedono moltiplicazioni e divisioni con altri numeri — i logaritmi — che restituiscono lo stesso risultato con semplici addizioni e sottrazioni. Il calcolo letterale che permette di manipolare quei numeri è lo stesso che si impara in Algebra: cos’è e come funziona il calcolo letterale.

Quando la crescita è un fattore, non una somma

Secondo le note di fisica di College Physics (Lumen Learning/OpenStax), il decadimento radioattivo segue una legge esponenziale: N = N0 · e^(-λt), dove il numero di nuclei residui N diminuisce nel tempo a partire dal numero iniziale N0. L’emivita è il tempo necessario perché metà dei nuclei di un campione decadano.

Esempio pratico: il carbonio-14 ha un’emivita di 5.730 anni. Un campione organico che ne contiene la metà rispetto alla quantità che aveva da vivo corrisponde, in media, a 5.730 anni di decadimento. L’uranio-238 ha un’emivita di circa 4,5 miliardi di anni, ed è uno degli strumenti con cui si datano i materiali più antichi del pianeta.

Il logaritmo entra qui come strumento per invertire l’esponenziale: conoscendo quanto materiale radioattivo resta, permette di risalire al tempo trascorso, al posto di provare un valore dopo l’altro. Isolare un’incognita che sta nell’esponente, nei passaggi concreti, è la tecnica trattata in Equazioni esponenziali: come si risolvono, con esempi svolti.

Quando la scala stessa è logaritmica

Alcune scale di misura sono costruite già in logaritmo, per comprimere numeri che altrimenti andrebbero da frazioni minuscole a miliardi.

Sui terremoti, secondo l’Osservatorio del vulcano Yellowstone dell’USGS, ogni unità in più sulla scala di magnitudo corrisponde a un’ampiezza delle onde sismiche 10 volte maggiore: un terremoto di magnitudo 4 produce onde 10 volte più ampie di uno di magnitudo 3. La relazione di magnitudo originale fu definita da Richter e Gutenberg nel 1935, per i terremoti locali. In termini di energia rilasciata, e non di sola ampiezza, le pubblicazioni dell’USGS indicano che un terremoto di magnitudo 7 libera circa 30 volte più energia di uno di magnitudo 6, e un terremoto di magnitudo 8 ne libera circa 900 volte tanto: l’effetto si moltiplica per 30 a ogni unità di salto. Il meccanismo che genera quelle onde è raccontato in Vulcani e terremoti: perché la Terra trema.

Il pH funziona allo stesso modo. Secondo il CADDIS dell’EPA, il pH è il logaritmo negativo in base 10 della concentrazione di ioni idrogeno in una soluzione acquosa: ogni variazione di un’unità corrisponde a un fattore 10 nella concentrazione, e due unità di differenza equivalgono quindi a un fattore 100.

Anche il decibel è un’unità logaritmica. L’OSHA segnala che una piccola variazione nel numero di decibel corrisponde a una grande variazione nella pressione sonora: raddoppiare la potenza sonora fisica aggiunge solo 3 dB sulla scala, e la pressione sonora scende di 6 dB ogni volta che la distanza da una sorgente puntiforme raddoppia.

Dove si incontrano di nuovo

Esponenziali e logaritmi fanno parte del programma di analisi matematica, insieme a limiti e derivate. La scala Richter, il pH e il decibel condividono la stessa struttura: un piccolo numero sulla scala corrisponde a un fattore grande nella grandezza reale sottostante.