Numeri irrazionali: cosa sono, e perché la radice di 2 non è una frazione

I numeri che si usano a scuola per contare e misurare si dividono in due famiglie, e la differenza riguarda il modo di scriverli, non la loro grandezza. Secondo Treccani, un numero irrazionale è un numero reale che non si può esprimere sotto forma di frazione: la sua forma decimale è infinita e non si ripete mai con un periodo fisso, mentre un numero razionale ha sempre un decimale finito oppure periodico. La radice di 2, cioè il numero che moltiplicato per sé stesso dà 2, è il caso con cui questa distinzione entrò per la prima volta nella storia della matematica.

Una frazione per ogni segmento, si pensava

Nell’antica Grecia, racconta Treccani, si riteneva che tra due segmenti qualsiasi dovesse sempre esistere un rapporto esprimibile come frazione: bastava trovare un’unità di misura comune, piccola a piacere, e contare quante volte entrava in ciascuno dei due. Il teorema di Pitagora lega il lato e la diagonale di un quadrato con un calcolo preciso: se il lato misura 1, la diagonale misura la radice di 2. Il problema arrivò quando qualcuno provò a trovare quell’unità comune tra lato e diagonale, e non la trovò.

Esempio pratico: disegna un quadrato di lato 1 e la sua diagonale. Prova a dividere il lato in parti sempre più piccole: nessuna di quelle unità misurerà mai un numero intero di volte anche la diagonale. È una proprietà del numero stesso, che nessun disegno più preciso potrebbe cambiare.

MacTutor, il sito di storia della matematica dell’università di St Andrews, chiama questa situazione incommensurabilità: non esiste alcuna lunghezza unitaria di cui sia 1 sia la radice di 2 risultino multipli interi.

La dimostrazione, passo dopo passo

La prova che la radice di 2 non è una frazione è una dimostrazione per assurdo, uno degli strumenti di base dell’algebra: si parte negando quello che si vuole dimostrare, e si cerca una contraddizione.

Il punto di partenza è l’ipotesi contraria: che la radice di 2 sia razionale, quindi scrivibile come rapporto a/b tra due numeri interi. Un eventuale fattore comune tra a e b si elimina con l’algoritmo euclideo, così la frazione risulta già ridotta ai minimi termini: in questa forma, almeno uno dei due numeri deve essere dispari.

Elevando al quadrato l’uguaglianza a/b = √2 si ottiene a² = 2b². Questo significa che a² è un numero pari, perché è il doppio di un altro numero intero; e se a² è pari, anche a deve essere pari. Sostituendo a con il doppio di un intero e sviluppando il calcolo, si arriva a dover concludere che anche b è pari. A questo punto a e b risultano entrambi pari, il che contraddice l’ipotesi di partenza: che a/b fosse già una frazione ridotta ai minimi termini, con almeno uno dei due numeri dispari. Poiché il ragionamento porta a una contraddizione, l’ipotesi che la radice di 2 fosse razionale deve essere falsa.

Chi l’ha scoperto, e quando

Qui le fonti diventano caute. MacTutor attribuisce la scoperta alla scuola pitagorica nel suo insieme, e giudica improbabile che sia stata opera di Pitagora in persona; si sa poco con certezza su quando e in quali circostanze sia avvenuta. Il nome più citato in relazione a questa scoperta è quello del pitagorico Ippaso di Metaponto: una tradizione narra che sarebbe stato ucciso per aver divulgato ai non iniziati il segreto dell’irrazionalità della radice di 2, ma resta una leggenda, con poche o nessuna prova storica solida a sostenerla. Lo storico Von Fritz ha avanzato un’ipotesi separata, mai un dato certo: che lo stesso Ippaso sia stato anche il primo a dimostrare un’altra irrazionalità, quella del rapporto aureo studiato nel pentagono regolare — un caso diverso dalla radice di 2.

Gli storici ipotizzano anche che la scoperta dell’incommensurabilità della radice di 2 sia avvenuta prima di altre scoperte simili. È un’ipotesi che spiegherebbe perché il matematico Teodoro di Cirene, qualche tempo dopo, abbia iniziato i propri studi sulle radici partendo dalla radice di 3 e non da quella di 2: quella strada era già stata percorsa.

Algebrici e trascendenti

Treccani classifica i numeri irrazionali in due famiglie. I numeri algebrici comprendono tutte le radici √x di un numero x maggiore di zero che non sia un quadrato perfetto, come la radice di 2, di 3 o di 5. I numeri trascendenti sono tutti gli altri, infiniti anch’essi: tra questi, π e il numero di Nepero (e) sono così importanti da avere ricevuto un simbolo proprio. Per orientarsi tra tutte le famiglie di numeri, dai naturali ai reali, la mappa generale è quella degli insiemi numerici; mentre per chi incontra radicali anche nelle disequazioni, lo stesso ragionamento algebrico torna utile nelle disequazioni irrazionali.