Teorema di Pitagora: cosa dice, la formula e perché è vero

Cosa dice il teorema

Il teorema di Pitagora riguarda i triangoli rettangoli, quelli con un angolo di 90°. Nella forma geometrica classica, ripresa dalla voce Treccani dedicata a Pitagora, il quadrato costruito sull’ipotenusa equivale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. La stessa relazione, in notazione algebrica standard, si scrive a²+b²=c². I cateti sono i lati che formano l’angolo retto; l’ipotenusa è il lato opposto a quell’angolo, sempre il più lungo dei tre. La forma geometrica e quella algebrica dicono la stessa cosa, con un linguaggio diverso. L’enunciato appartiene all’impianto di postulati e teoremi descritto nella voce su geometria euclidea.

Perché è vero: l’idea della dimostrazione

Wolfram MathWorld descrive il teorema di Pitagora come uno dei più fondamentali della geometria e segnala che ne esistono molte dimostrazioni diverse: il numero esatto resta imprecisato sulla pagina. Un modo diretto per vedere perché la relazione regge parte proprio dai quadrati della forma geometrica: quello costruito sull’ipotenusa ha un’area che si può ricomporre esattamente con le aree dei due quadrati costruiti sui cateti, tagliando i pezzi e spostandoli senza sovrapposizioni né vuoti. È uno dei tanti modi possibili di arrivare alla stessa conclusione.

La stessa idea regge anche fuori dal piano. Estendendo il ragionamento a tre dimensioni, la diagonale di un parallelepipedo si trova applicando il teorema due volte: prima sulla base, per avere la diagonale del rettangolo di base, poi su un secondo triangolo rettangolo che usa quella diagonale e l’altezza. È la stessa relazione, solo applicata due volte di seguito — una costruzione che torna utile nei solidi trattati nella voce su geometria dei solidi.

Come si usa per calcolare un lato

Conoscendo due lati di un triangolo rettangolo, il terzo si trova sempre con la formula. Per l’ipotenusa si eleva al quadrato ciascun cateto, si somma il risultato e si estrae la radice quadrata della somma: c = radice quadrata di (a²+b²). Per un cateto si eleva al quadrato l’ipotenusa, si sottrae il quadrato del cateto già conosciuto e si estrae la radice quadrata di quel che resta: a = radice quadrata di (c²-b²).

Esempio pratico: un triangolo rettangolo ha i cateti di 3 e 4 metri. Elevando al quadrato: 3²=9 e 4²=16. Sommando: 9+16=25. La radice quadrata di 25 è 5, quindi l’ipotenusa misura 5 metri. Funziona anche al contrario: se l’ipotenusa è 5 e un cateto è 3, il secondo cateto si trova con la radice quadrata di (25-9), cioè 4.

Lo stesso calcolo, applicato a coordinate su un piano cartesiano, diventa la formula della distanza tra due punti: la differenza tra le ascisse e quella tra le ordinate fanno da cateti, e la distanza è l’ipotenusa. Il collegamento tra le due cose è descritto nella voce su geometria analitica, e lo stesso triangolo rettangolo è anche il punto di partenza di seno, coseno e tangente, spiegati nella voce su trigonometria.

Le terne pitagoriche più comuni

Alcuni gruppi di tre numeri interi soddisfano l’equazione a²+b²=c² senza bisogno di radici con la virgola: si chiamano terne pitagoriche, e un triangolo coi lati in quel rapporto è rettangolo per costruzione, senza dover misurare l’angolo.

La tavoletta Plimpton 322, secondo l’analisi di Neugebauer e Sachs richiamata da MacTutor History of Mathematics, è un elenco di terne pitagoriche intere. Curiosamente la tavoletta non elenca né 3-4-5 né 5-12-13, le due terne pitagoriche più diffuse: la più piccola presente è 45-60-75, multiplo di 3-4-5.

Un contenuto più antico del nome che porta

Il teorema porta il nome di Pitagora, ma il suo contenuto era noto molto prima di lui. Le tavolette babilonesi analizzate da MacTutor History of Mathematics risalgono al periodo del Vecchio Impero Babilonese, fiorito in Mesopotamia tra il 1900 e il 1600 a.C. circa: secondo questa fonte, i Babilonesi conoscevano già il contenuto del teorema circa un millennio prima di Pitagora.

Pitagora nasce a Samo, nella Ionia, figlio di Mnesarco, nella prima metà del VI secolo a.C. secondo Treccani, una fase che MacTutor colloca più precisamente intorno al 570 a.C. Si trasferisce nel sud della penisola italiana, a Crotone, forse intorno al 529 a.C. (Treccani usa “forse”: la data non è certa), e lì fonda una scuola filosofica che diventa anche comunità religiosa, con l’obiettivo di una rigenerazione morale e politica dei suoi membri. All’interno della scuola, il circolo più stretto, i “mathematikoi”, viveva stabilmente nella comunità: nessun possedimento personale, una dieta vegetariana. Un secondo circolo, più esterno, gli “akousmatics”, viveva nelle proprie case e frequentava la comunità solo di giorno.

Sulla paternità della dimostrazione, le fonti restano caute: MacTutor History of Mathematics scrive che Pitagora “may have been” il primo a dimostrare il teorema, un condizionale che segnala un’ipotesi più che un fatto accertato. È un’attribuzione tradizionale, più che un dato documentato con certezza.