Numeri complessi: cosa sono e a cosa servono, con esempi

Cosa sono i numeri complessi

Un numero complesso si scrive come a+bi: a e b sono numeri reali, mentre i è l’unità immaginaria. Quest’ultima ha una proprietà che nessun numero reale possiede: i² = −1.

Questa differenza basta a distinguere a, la parte reale del numero, da b, la parte immaginaria. I numeri complessi si aggiungono così alla scala degli insiemi numerici che va dai naturali ai reali: non la sostituiscono, la allargano con un elemento che i numeri reali non contengono.

Perché nascono: un’equazione senza soluzione nei numeri reali

Secondo il MacTutor History of Mathematics dell’Università di St Andrews, Gerolamo Cardano pubblicò nel 1545 l’Ars Magna, il primo trattato di algebra scritto in latino. Risolvendo l’equazione cubica x³=15x+4, Cardano si trovò davanti alla radice quadrata di −121, un’espressione che la matematica dei numeri reali non sapeva trattare: nessun numero reale, moltiplicato per sé stesso, dà un risultato negativo. Lo stesso ostacolo si incontra ogni volta che un’equazione di terzo grado non ha soluzioni reali: è lì che entrano in gioco i numeri complessi.

Fu Rafael Bombelli, nel 1572, nella sua Algebra (di cui riuscì a pubblicare solo i primi tre dei cinque libri previsti), a studiare in dettaglio questo caso. Bombelli scrisse per primo, in forma di regole verbali, le operazioni di moltiplicazione tra le quantità che oggi chiamiamo +i e −i, gettando le basi dell’aritmetica dei numeri complessi. Con Bombelli queste quantità diventano oggetti su cui si può calcolare con regole proprie, un’estensione dell’algebra che fino ad allora si fermava ai numeri reali.

Dal calcolo alla geometria: il piano di Gauss

La rappresentazione geometrica dei numeri complessi arriva secoli dopo Bombelli, e non da un solo autore. Secondo Wikipedia, Caspar Wessel descrisse questa rappresentazione già nel 1799, in un lavoro che però passò inosservato. Nel 1806, mentre gestiva una libreria a Parigi, Jean-Robert Argand pubblicò privatamente un saggio con la stessa idea, proponendo l’interpretazione oggi nota come diagramma di Argand: un numero complesso a+bi diventa un punto del piano, con a sull’asse orizzontale e b su quello verticale.

Questo piano prende anche il nome di piano di Gauss, perché secondo il MacTutor fu Carl Friedrich Gauss, nel 1831, a introdurre il termine “numero complesso” nella forma oggi in uso: a Gauss si deve il nome, non la rappresentazione geometrica, già descritta da Wessel e Argand nei decenni precedenti. La stessa logica del piano torna in geometria analitica, dove un punto si descrive con due coordinate: qui le due coordinate sono la parte reale e la parte immaginaria dello stesso numero.

Le operazioni di base

Esempio pratico: per sommare (3+2i) e (1+4i) si addizionano separatamente le parti reali (3+1=4) e le parti immaginarie (2i+4i=6i): il risultato è 4+6i.

Secondo Wikipedia, la somma di due numeri complessi si fa addizionando separatamente le parti reali e le parti immaginarie. Il prodotto segue invece la proprietà distributiva applicata insieme alla relazione i²=−1: (a+bi)(c+di) si sviluppa in ac+adi+bci+bdi², e sostituendo i² con −1 si arriva alla parte reale e alla parte immaginaria del risultato.

Due altre operazioni completano la cassetta degli attrezzi. Il coniugato di un numero z=x+yi è il numero con la stessa parte reale e la parte immaginaria di segno opposto, mentre il modulo è la radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria: nel piano di Gauss corrisponde alla distanza del punto dall’origine.

A cosa servono i numeri complessi

Il manuale “Electric Circuits II” di Tony R. Kuphaldt (LibreTexts) spiega che nei circuiti in corrente alternata grandezze come tensione, corrente e impedenza non sono quantità a una sola dimensione come nei circuiti in corrente continua. Un numero complesso è un singolo oggetto matematico capace di esprimere insieme le due dimensioni di ampiezza e sfasamento di una grandezza elettrica alternata.

HyperPhysics, della Georgia State University, nota che se si usano seni e coseni per rappresentare tensioni e correnti, il calcolo dell’impedenza di un circuito con più componenti diventa rapidamente ingestibile; le funzioni esponenziali complesse semplificano quel calcolo, e la parte reale di una funzione esponenziale complessa può rappresentare una tensione o una corrente alternata. Nel piano complesso la resistenza occupa l’asse reale, mentre le reattanze del condensatore e dell’induttore si trattano come numeri immaginari: l’impedenza di un circuito ha quindi una parte reale, la resistenza, e una parte immaginaria, la reattanza. Nei circuiti in serie i valori si sommano come componenti di un vettore, con lo stesso calcolo descritto più sopra per l’addizione. Chi studia la corrente elettrica nei circuiti in corrente alternata incontra i numeri complessi come strumento di calcolo quotidiano.