Limiti in matematica: definizione e come si calcolano

Una funzione che si stringe sempre più attorno a un numero, senza mai toccarlo: è la prima immagine con cui si racconta il limite. x si muove verso un punto a, e il valore di f(x) si avvicina a un numero L.

OpenStax lo mette in termini precisi: L è il limite di f(x) per x che tende ad a quando, man mano che x — sempre diverso da a — si avvicina ad a, ogni valore assunto da f(x) finisce per avvicinarsi proprio a quel numero L. Il dettaglio che spiazza chi inizia lo studio dell’analisi matematica è proprio quel “diverso da a”: il limite non chiede che x raggiunga a, né che f sia definita lì. Si scrive lim(x→a) f(x) = L, e quella notazione torna identica in ogni calcolo successivo.

Due casi aprono la strada: il limite della funzione identità per x che tende ad a è a stesso, e il limite di una funzione costante c è sempre c, qualunque sia il punto a cui x tende.

Algebra dei limiti

Quando due funzioni hanno già un limite proprio, si calcola il limite della loro combinazione senza tornare alla definizione ogni volta.

La riga del quoziente porta una condizione in più delle altre due: se il limite al denominatore è zero, la regola non si applica. È il momento in cui compaiono le forme indeterminate.

Un limite bilaterale segue una logica simile: esiste ed è uguale a L esattamente quando il limite da sinistra e il limite da destra esistono entrambi e valgono anch’essi L.

Continuità e limiti

Una funzione è continua in un punto a solo se tre condizioni valgono insieme: la funzione è definita in a, il limite per x che tende ad a esiste, e quel limite coincide con il valore della funzione in a.

OpenStax traduce tutto questo in un’immagine semplice: una funzione è continua in un punto quando il suo grafico non presenta un’interruzione — un salto, un buco o un asintoto — in quel punto. È un modo di leggere un grafico prima ancora di fare i calcoli: si segue la curva con lo sguardo, e se la matita non deve mai staccarsi dal foglio per passare quel punto, lì la funzione è continua. Dove invece il grafico si avvicina a una quota senza mai toccarla — una curva che sale sempre più vicino a una linea orizzontale, ma resta sotto quella linea nel disegno — si può leggere a occhio un limite che esiste pur restando fuori dal valore che la funzione assume effettivamente in quel punto.

Forme indeterminate

Treccani elenca quattro combinazioni che le regole algebriche di base non bastano a risolvere: (+∞)−(+∞), 0·∞, ∞/∞, 0/0. Per ciascuna serve un metodo dedicato, caso per caso.

Sulla più comune, 0/0, OpenStax indica la strategia: trasformare algebricamente l’espressione — per fattorizzazione, moltiplicazione per il coniugato o semplificazione — in una forma equivalente che non dia più 0/0, e calcolare il limite su quella forma.

Esempio pratico: la frazione (x²−4)/(x−2) dà 0/0 se si sostituisce x=2 direttamente. Fattorizzando il numeratore si ottiene (x−2)(x+2)/(x−2): per x diverso da 2 il fattore (x−2) si semplifica, e resta x+2, che per x che tende a 2 vale 4.

Per 0/0 e infinito fratto infinito, segnala Wolfram MathWorld, la regola di L’Hôpital spesso basta a calcolare il limite.

Teorema del confronto

Se una funzione è schiacciata tra altre due funzioni che tendono allo stesso valore L vicino a un punto, anche la funzione di mezzo tende a L.

Esempio pratico: per valutare il limite di x·cos(x) per x che tende a 0, si parte da un fatto noto: cos(x) è sempre compreso tra -1 e 1. Moltiplicando per x si ottiene che x·cos(x) è compreso tra -|x| e |x|. Sia -|x| sia |x| tendono a 0 quando x tende a 0, e con loro tende a 0 anche x·cos(x).

Un limite notevole: sin(x)/x

OpenStax mostra un caso che non si risolve con l’algebra dei limiti vista sopra, perché sostituendo x=0 si ottiene ancora 0/0.

Esempio pratico: calcolando sin(x)/x per valori di x sempre più piccoli ma diversi da zero, i risultati si avvicinano sempre più a 1. Questa evidenza numerica porta a concludere che il limite di sin(x)/x per x che tende a 0 è 1. Non è una dimostrazione formale, ma l’osservazione numerica che il libro usa per introdurre il risultato.

Questo caso fa parte di una famiglia più ampia, i limiti notevoli: formule pronte per le forme indeterminate che tornano spesso negli esercizi di analisi.

Dall’intuizione alla definizione formale

Treccani ricorda che l’idea di limite nasce come intuizione informale, e viene rigorizzata matematicamente solo nel XIX secolo, grazie soprattutto a Cauchy e Weierstrass. È da lì che arriva la definizione con epsilon e delta.

In termini rigorosi la stessa idea si traduce così: fissata comunque una soglia di tolleranza (epsilon) sulla distanza ammessa dal valore l, si può sempre restringere un intervallo (delta) attorno al punto x₀ in modo che, per ogni x dentro quell’intervallo ma diverso da x₀, la funzione resti più vicina a l di quella soglia. È la stessa idea di avvicinamento vista all’inizio, scritta in un linguaggio che si può verificare passo per passo invece che a occhio.

Chi arriva ai limiti ha di solito già incontrato le equazioni e il piano cartesiano: tornano utili entrambi, perché molte verifiche di limite passano da una manipolazione algebrica dell’espressione o da una lettura del grafico sul piano. Anche le basi degli insiemi numerici aiutano a capire perché una tolleranza epsilon piccola a piacere ha senso proprio sui numeri reali.