Limiti notevoli: il formulario per le forme indeterminate

Cosa rende indeterminata una forma

Un limite come x² per x che tende a 3 non pone problemi: basta sostituire. Le cose si complicano quando il calcolo porta a una scrittura come 0/0 o infinito meno infinito, perché il solo aspetto del simbolo non dice nulla sul risultato. Secondo Treccani, le forme indeterminate — tra cui infinito meno infinito, zero per infinito, infinito su infinito e zero su zero — si chiamano così perché serve confrontare quale termine dell’espressione prevale sull’altro: la sola lettura della scrittura non basta. Wolfram MathWorld arriva alla stessa conclusione da un altro lato: il valore di un limite non si legge nei pezzi singoli dell’espressione, presi uno per uno, e la comunità matematica riconosce sette forme indeterminate standard — uno elevato a infinito, 0/0, infinito su infinito, zero per infinito, infinito meno infinito, zero elevato a zero e infinito elevato a zero.

La prova più diretta che la forma scritta non decide il risultato arriva sempre da MathWorld: due limiti possono presentarsi entrambi come 0/0 e avere valori diversi, uno pari a 1 e uno pari a 0.

I limiti in matematica spiegano cosa significa che una funzione si avvicina a un valore senza mai raggiungerlo; i limiti notevoli entrano in gioco quando quell’avvicinamento produce una delle sette forme indeterminate e serve un metodo in più per concludere il calcolo.

Il formulario dei limiti notevoli

Secondo Wikipedia, i limiti notevoli funzionano come un repertorio di risultati già dimostrati: scorciatoie pronte quando il calcolo diretto non è immediato. La tabella raccoglie i più usati nei corsi di analisi matematica.

Secondo Maturando.it, il limite del seno è il più conosciuto e il primo che si impara; la sua dimostrazione non passa per il calcolo diretto ma per il teorema del confronto — detto anche dei due carabinieri — che stringe il rapporto tra due altre quantità più semplici da misurare. Wikipedia, nella versione inglese, descrive la dimostrazione come una doppia disuguaglianza geometrica: confrontando le aree di un triangolo più piccolo, di un settore circolare e di un triangolo più grande, tutti costruiti sullo stesso angolo in una circonferenza di raggio 1, si vede che il rapporto resta compreso tra coseno di x e 1, e per x che tende a zero i due estremi convergono entrambi a 1.

Secondo Maturando.it, i limiti dell’esponenziale e del logaritmo naturale non sono indipendenti dal limite di Bernoulli: si ricavano a partire da esso. Il numero e che ne risulta compare anche nelle equazioni esponenziali, dove la stessa costante regola la crescita o il decadimento di una quantità nel tempo. Theoremz.com riporta anche una versione generalizzata, utile quando la base non è e: il limite di (aˣ − 1)/x per x che tende a 0 vale il logaritmo naturale di a, e torna al caso visto sopra quando a = e, perché il logaritmo naturale di e vale 1.

Secondo Wikipedia, oltre a risolvere direttamente un limite, i limiti notevoli servono anche per sostituire un pezzo di un’espressione più complessa con un infinitesimo equivalente, semplificando il calcolo prima ancora di applicare la formula per intero.

Due calcoli, due strade diverse

La fattorizzazione basta già per alcune forme 0/0. Secondo Maturando.it, un classico esempio è il limite per x che tende a 2 di (x² − 4)/(x² − 2x): entrambi i termini si annullano in x = 2, ma scomponendo numeratore e denominatore in fattori — (x − 2)(x + 2) sopra, x(x − 2) sotto — il fattore comune (x − 2) si elimina, e sostituendo x = 2 nell’espressione semplificata resta (2 + 2)/2, cioè 2.

Esempio pratico: lim per x che tende a 2 di (x² − 4)/(x² − 2x) = lim per x che tende a 2 di (x + 2)/x = 4/2 = 2. Nessun limite notevole, solo fattorizzazione e sostituzione.

Quando invece l’espressione contiene funzioni trigonometriche, un limite notevole spesso evita calcoli più lunghi. Secondo Theoremz.com, il limite per x che tende a 0 di sin(x)cos(x)/(2x) si risolve spezzando l’espressione in due fattori: sin(x)/x, che è esattamente il limite notevole del seno e vale 1, e cos(x)/2, che vale direttamente 1/2. Il prodotto dei due risultati dà la risposta.

Esempio pratico: lim per x che tende a 0 di [sin(x)cos(x)]/(2x) = [lim di sin(x)/x] × [lim di cos(x)/2] = 1 × 1/2 = 1/2.