Proiezioni ortogonali: cosa sono e come si disegnano, con esempi

Secondo Wikipedia IT, le proiezioni ortogonali sono una tecnica che usa più immagini bidimensionali, le vedute, per rappresentare un oggetto a tre dimensioni. Non c’è un unico disegno con la profondità resa in prospettiva: ci sono più disegni piani, uno per ogni direzione di osservazione, e insieme bastano a ricostruire la forma dell’oggetto.

I piani di proiezione standard sono tre: orizzontale (sigla PO), verticale (PV) e laterale (PL), perpendicolari tra loro. Secondo tecnologiaduepuntozero.it, questi tre piani formano insieme il triedro di Monge. Su ciascun piano si proietta una veduta diversa: la pianta è la veduta dall’alto, proiettata sul piano orizzontale; il prospetto è la veduta frontale, proiettata sul piano verticale; il fianco (o vista laterale) è la veduta ottenuta guardando l’oggetto di lato, proiettata sul piano laterale. Nella formulazione originale del metodo, quella di Gaspard Monge, i piani erano solo due — orizzontale e verticale, da cui pianta e prospetto — e il piano laterale per la vista di fianco è un’aggiunta successiva.

Le tre vedute non si dispongono sul foglio a piacere: esistono due convenzioni diverse, che producono la stessa informazione ma la collocano in punti opposti. In Italia si usa il metodo europeo, chiamato anche metodo del primo diedro. Secondo Studenti.it, nel metodo europeo la vista principale va al centro del foglio e ogni altra veduta si dispone dalla parte OPPOSTA rispetto alla faccia del solido che rappresenta: la vista presa dal lato destro del solido si disegna a sinistra della vista principale, quella dal lato sinistro va a destra; la veduta presa da sotto finisce sopra, quella presa da sopra finisce sotto. Per capirlo si può immaginare l’oggetto dentro una cabina con pareti che fanno da piani di proiezione: quello che un osservatore vede stando a destra dell’oggetto viene disegnato sulla parete opposta, cioè a sinistra.

Negli Stati Uniti si usa invece il metodo americano, o del terzo diedro. Qui il piano di proiezione si immagina trasparente e posto tra l’osservatore e l’oggetto, non dietro l’oggetto come nel metodo europeo: la vista presa dal lato destro dell’oggetto si disegna a destra della vista principale, l’opposto di quanto accade nel metodo europeo.

A parità di veduta presa, i due metodi collocano quella veduta su lati opposti del foglio. È la differenza pratica più visibile tra i due.

Esempio pratico: si prenda un parallelepipedo semplice, con una faccia più larga davanti e una faccia più stretta di lato. Nel metodo europeo, la faccia frontale va al centro del foglio come prospetto. La faccia superiore, vista dall’alto, si disegna sotto il prospetto: è la pianta. La faccia laterale destra, osservata da destra, si disegna a sinistra del prospetto: è il fianco. Gli spigoli che restano coperti dal corpo del solido — per esempio lo spigolo verticale sul retro, invisibile guardando l’oggetto di fronte — si disegnano con linea tratteggiata in tutte le vedute dove restano nascosti; gli spigoli che si vedono direttamente si disegnano con linea continua. Per un solido curvo come un cilindro, al posto degli spigoli si proiettano le linee che generano la superficie (i bordi delle basi circolari e le generatrici laterali).

Chi studia la geometria dei solidi riconosce in questo esempio lo stesso parallelepipedo che compare nelle formule di volume: le proiezioni ortogonali guardano la stessa forma da un altro punto di vista, quello del disegno tecnico invece che del calcolo. Lo stesso vale per il parallelepipedo rettangolo: le sue facce rettangolari rendono particolarmente leggibili le tre vedute, perché ogni faccia si proietta senza deformazioni su uno dei tre piani.

Il metodo della doppia proiezione ortogonale è anche chiamato proiezione di Monge. Secondo Treccani, il matematico francese Gaspard Monge (1746-1818) ha codificato il metodo basandolo sulla proiezione di un oggetto su due piani ortogonali tra loro, pianta e alzata; ribaltando uno dei due piani sull’altro si può ricostruire la forma e le misure della figura nello spazio, e viceversa. Monge ha pubblicato il metodo nell’opera “Géométrie descriptive”, del 1794-95, che raccoglie le lezioni tenute all’École normale, ed è un metodo ancora oggi impiegato nel disegno geometrico.

Le superfici curve, come quelle dei solidi di rotazione, si proiettano seguendo le stesse regole generali: non ci sono spigoli da tracciare, ma linee di contorno che il disegno tratta con la stessa distinzione tra parti visibili e parti nascoste. E chi vuole verificare le proprie proiezioni con il calcolo, per esempio controllando gli angoli con cui una faccia obliqua si presenta su un piano, trova in trigonometria gli strumenti per misurarli.