Vettori: cos'è, modulo e direzione, come si somma

I vettori servono a descrivere grandezze il cui comportamento dipende dalla direzione. Una forza applicata verso destra non è la stessa cosa della stessa forza applicata verso l’alto, anche se il “quanto” è identico: serve un modo per tenere insieme il numero e il verso. Il NASA Glenn Research Center, nella pagina didattica Scalars and Vectors, chiama vettoriale una grandezza che dipende dalla direzione, e scalare una grandezza che non ne dipende. Un vettore si definisce con due elementi insieme, modulo e direzione; uno scalare basta descriverlo con un solo elemento, il modulo.

Vettori e scalari: la differenza che conta

Gli esempi che NASA usa per il volo sono concreti. Il peso di un aereo è una grandezza vettoriale, e lo stesso vale per la spinta dei motori e per le forze aerodinamiche: agiscono con un’intensità precisa e una direzione precisa, e cambiare la direzione cambia l’effetto. Anche il moto dell’aereo si descrive con grandezze vettoriali, lo spostamento insieme alla velocità e all’accelerazione. Densità, pressione e temperatura dei propellenti, invece, sono grandezze scalari: bastano numeri, e la direzione qui non conta.

OpenStax, nel manuale University Physics Volume 1, formalizza la stessa distinzione: una grandezza scalare è completamente definita da un solo numero (con la sua unità di misura), mentre una grandezza vettoriale è completamente definita da un numero di unità, cioè il modulo, e da una direzione. Il modulo di un vettore è la sua lunghezza, ed è sempre una grandezza scalare positiva — anche quando il vettore punta verso il basso o all’indietro, il modulo resta un numero senza segno.

Esempio pratico: uno spostamento di 5 metri non dice ancora nulla di utile su dove si trova chi si è spostato. Uno spostamento di 5 metri verso nord, invece, è un vettore completo: lo stesso modulo, ma con l’informazione che permette di sapere dove si è arrivati.

Come si rappresenta un vettore

Graficamente un vettore è una freccia. OpenStax lo descrive così: si disegna da un punto iniziale, la coda, a un punto finale, la testa, segnata da una punta di freccia. Una seconda pagina NASA, Vector Components, conferma la stessa definizione e aggiunge il dettaglio visivo: la lunghezza della freccia indica il modulo, la punta indica la direzione. Le due informazioni che un vettore porta con sé stanno quindi tutte in quel disegno.

C’è anche un modo per scrivere un vettore senza disegnarlo: le componenti. Secondo NASA, le componenti servono a trasformare un vettore in due (o più) grandezze scalari più semplici da trattare matematicamente — tipicamente le proiezioni lungo gli assi x e y di un piano cartesiano. In ambito aerospaziale, le forze sono vettori, e scomporle in componenti semplifica lo studio del moto che ne risulta.

Chi ha già incontrato seno e coseno nella trigonometria riconosce lo stesso strumento qui: le componenti di un vettore si calcolano proprio con quelle funzioni, e il modulo del vettore risultante dalle sue componenti si ricava con un procedimento che richiama il teorema di Pitagora.

Il metodo punta-coda

Per sommare due vettori graficamente, OpenStax descrive il metodo punta-coda: si trasla il secondo vettore finché la sua coda coincide con la testa del primo. Il vettore somma si traccia poi dalla coda del primo alla testa del secondo, senza modificare la lunghezza né la direzione di nessuno dei due vettori originali durante lo spostamento.

La regola del parallelogramma

OpenStax descrive un secondo metodo grafico, equivalente al primo ma con una costruzione diversa: la regola del parallelogramma. I due vettori si traslano fino a condividere la stessa origine, poi si completa il parallelogramma che hanno come lati. La diagonale che parte dall’origine comune è il vettore somma. Chi ha già studiato la geometria analitica riconosce in questa costruzione lo stesso linguaggio delle coordinate su un piano.

Esempio pratico: due vettori di uguale modulo ma direzioni opposte, traslati con la stessa origine, formano un parallelogramma degenerato: la loro diagonale ha modulo zero. È la conferma grafica che i due vettori si annullano a vicenda, cosa che una somma cifra per cifra non renderebbe visibile.

La somma per componenti

Il terzo metodo, quello che si presta meglio al calcolo, parte dalle componenti. Secondo NASA, per sommare due vettori si scompone prima ciascuno nelle sue componenti, ad esempio lungo gli assi x e y. La componente x del vettore somma si ottiene sommando le componenti x dei due vettori di partenza; la componente y del vettore somma si ottiene sommando le componenti y dei due vettori di partenza. Dalle componenti sommate si ricava poi sia il modulo sia la direzione del vettore risultante: il calcolo sostituisce il disegno, ed è per questo che nei problemi con più di due vettori applicati a uno stesso punto — dove il metodo punta-coda richiederebbe più traslazioni in sequenza — la somma per componenti resta il procedimento più pratico da seguire su carta.

Questo metodo è quello su cui si basa buona parte dell’algebra lineare, e nella fisica è il modo standard per combinare più forze applicate a uno stesso corpo, come nelle leggi di Newton.

Oltre alla somma, tra due vettori si possono definire altre operazioni, come il prodotto scalare e il prodotto vettoriale.