Trasformazioni di Galileo: cosa sono e come funzionano

Quando due persone misurano la posizione dello stesso oggetto da due punti di osservazione diversi, ottengono numeri diversi, ma stanno parlando dello stesso evento. Le trasformazioni di Galileo sono il sistema di quattro equazioni che traduce queste misure da un osservatore all’altro, quando i due si muovono uno rispetto all’altro a velocità costante, senza accelerare e senza curvare la traiettoria. È l’idea che sta sotto a tutta la fisica che si studia a scuola prima di arrivare alla relatività: un sistema di riferimento inerziale è, in questo schema, uno di quei due osservatori che non sentono nessuna forza misteriosa tirarli da parte.

La formula delle trasformazioni di Galileo

Si considerano due sistemi di riferimento che coincidono all’istante iniziale, con il secondo sistema (quello “primato”) che si sposta lungo l’asse x a velocità costante v rispetto al primo. Le quattro equazioni sono:

• x’ = x - vt
• y’ = y
• z’ = z
• t’ = t

Le coordinate trasversali, y e z, non cambiano: il moto avviene solo lungo x. Il tempo t’ è uguale a t, cioè lo stesso orologio vale per entrambi gli osservatori. Da queste equazioni discende anche la regola per le velocità: se un oggetto ha velocità u nel primo sistema, nel secondo sistema la sua velocità misurata è u’ = u - v.

Esempio pratico: una giocatrice di hockey su prato corre verso la porta a 5 metri al secondo e colpisce la palla, che parte a 30 metri al secondo rispetto a lei. Il portiere, fermo sul campo, non vede né i 5 né i 30 separatamente: vede la palla arrivare a 35 metri al secondo, la somma delle due velocità. Ogni velocità, in questo calcolo, ha senso solo se si specifica rispetto a cosa è misurata.

Perché Galileo ci arrivò

Il principio di relatività galileiana afferma che gli esperimenti di meccanica danno lo stesso risultato in un sistema fermo e in un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme. Lasciar cadere un oggetto, per dire, produce lo stesso esito sia che si stia su un pavimento immobile sia che si stia su un pavimento che scorre dritto a velocità costante. Galileo lo usò per affrontare un problema enorme per la sua epoca: se la Terra gira intorno al Sole, perché non lo sentiamo?

La risposta, con questo principio, è che non c’è motivo per cui dovremmo sentirlo. Un moto uniforme non lascia traccia negli esperimenti quotidiani, quindi l’assenza di sensazioni di movimento non prova che la Terra sia ferma. Galileo non riuscì a dimostrare in modo decisivo il moto della Terra nel sistema solare: mostrò piuttosto che l’ipotesi copernicana non contraddice l’esperienza di ogni giorno, il che per l’epoca era già un argomento potente contro chi pensava che il moto della Terra dovesse essere percepibile in qualche modo.

Le velocità si sommano

L’addizione classica delle velocità, quella che discende dalle trasformazioni di Galileo, corrisponde al modo intuitivo con cui si pensa normalmente al moto: le velocità si sommano come numeri ordinari, senza correzioni. È per questo che il calcolo dell’esempio della giocatrice sembra ovvio, quasi non ci fosse bisogno di spiegarlo: la fisica galileiana coincide, nella vita di tutti i giorni, con il buon senso.

Questa stessa regola di addizione è anche quella che rende le trasformazioni di Galileo compatibili con le leggi di Newton: accelerazione, forza e massa restano invariate passando da un sistema di riferimento inerziale a un altro.

Con esse restano invariati anche tempo, lunghezza e simultaneità tra due eventi.

Dove si ferma la formula

La relatività classica, e quindi la trasformazione di Galileo, è un’approssimazione valida quando le velocità in gioco sono inferiori a circa l’1% della velocità della luce, cioè sotto i 3.000 chilometri al secondo. Entro questo limite, che comprende praticamente ogni velocità che si incontra nella vita di ogni giorno, le equazioni danno risultati corretti con un margine di errore trascurabile. È per questo che chi guida un’automobile o lancia una palla non ha mai avuto bisogno di correggere i propri calcoli con la relatività ristretta. L’errore introdotto dall’approssimazione classica cresce man mano che la velocità si avvicina a quella soglia, e oltre una certa misura smette di essere trascurabile.

Oltre quella soglia la simmetria si rompe: il tempo non può più essere considerato uguale per ogni osservatore, e servono le trasformazioni di Lorentz, al centro della relatività ristretta di Einstein. Le due teorie non sono in competizione nel senso comune del termine, perché la trasformazione di Galileo torna a valere, con ottima approssimazione, in tutti i casi lenti che Lorentz tratta come caso limite.