Teorema di Talete: cos'è e come si applica

L’enunciato: parallele e trasversali in proporzione

Le rette parallele che tagliano due rette trasversali dividono ciascuna trasversale in segmenti, spiega Treccani, e i segmenti di una trasversale stanno nella stessa proporzione dei segmenti corrispondenti sull’altra. È questa la relazione che dà il nome al teorema di Talete.

Il teorema inverso

Il ragionamento funziona anche al contrario. Secondo Treccani, se su due rette i segmenti sono già in proporzione e due delle rette che li congiungono sono parallele, allora anche le altre due rette di congiunzione sono parallele. Questo permette di dimostrare un parallelismo partendo solo da misure di lunghezza senza bisogno di confrontare angoli.

La forma generalizzata

La voce Intercept theorem di Wikipedia EN descrive una versione più ampia del teorema, che non si limita alle due semirette con la stessa origine: vale anche quando due rette si incrociano in un punto qualsiasi, purché siano tagliate dalle stesse parallele. È la forma generalizzata che compare negli esercizi più avanzati, quando le due trasversali non partono da un’origine comune ma si incrociano comunque da qualche parte.

Teorema di Talete e similitudini dei triangoli

Wikipedia EN descrive il teorema di Talete come equivalente, dal punto di vista matematico, al rapporto tra i lati dei triangoli simili: è la stessa idea della similitudine dei triangoli, formulata con parallele e trasversali invece che con i triangoli stessi. Due triangoli ottenuti tagliando due rette con rette parallele hanno i lati corrispondenti in proporzione, e questo è il motivo per cui, secondo Treccani, il teorema serve anche a dimostrare un criterio di congruenza dei triangoli, oltre che a dividere un segmento in parti uguali e a trovare un quarto segmento proporzionale a tre segmenti dati. Chi vuole vedere questa stessa relazione dimostrata passo per passo nella forma classica può leggere la prima dimostrazione scritta, negli Elementi di Euclide.

Plutarco, secondo il racconto riportato dall’Encyclopædia Britannica del 1911, attribuisce a Talete anche il teorema per cui i lati di triangoli equiangoli sono proporzionali, il principio alla base della similitudine dei triangoli, usato probabilmente anche per calcolare la distanza di una nave in mare. I criteri con cui si verifica quando due triangoli sono effettivamente simili — lato-angolo-lato, angolo-angolo, lato-lato-lato — sono il tema dei criteri di similitudine dei triangoli.

Un aneddoto tramandato, non un fatto documentato

Le informazioni sulla vita di Talete sono scarse e incerte: lo confermano sia Treccani sia Wikipedia EN, che parlano di date e vicende non documentate con certezza. Le fonti divergono già sulla cronologia: Treccani attribuisce a Talete la nascita tra il 624 e il 623 a.C. e la morte tra il 548 e il 545 a.C., mentre l’Encyclopædia Britannica del 1911 riporta invece 640-546 a.C.

Il racconto tramandato da Ieronimo di Rodi, tramite Diogene Laerzio, e da Plinio, citato dall’Encyclopædia Britannica, narra che Talete avrebbe determinato l’altezza di una piramide egizia misurandone l’ombra nel momento del giorno in cui la propria ombra era lunga quanto la sua altezza. È un aneddoto tramandato dagli autori antichi, non un fatto documentato all’epoca di Talete. Plutarco racconta una versione diversa dello stesso episodio, che userebbe già il principio della proporzionalità dei triangoli senza il vincolo dell’ora del giorno: le fonti antiche non raccontano lo stesso procedimento. Gli storici della matematica contemporanei, secondo Wikipedia EN, restano scettici sul fatto che all’epoca di Talete si producessero dimostrazioni con il rigore che la matematica greca avrebbe raggiunto più tardi.

Esempio pratico: in una ricostruzione moderna del metodo, non il procedimento storico originale di Talete, che è andato perduto, si misura la base della piramide e l’altezza di un bastone piantato in verticale, e nello stesso momento del giorno si misurano le ombre di entrambi. Secondo Wikipedia EN, piramide e bastone proiettano ombre proporzionali alle loro altezze: basta una proporzione per calcolare l’altezza della piramide senza salirci sopra.

Chi era Talete

Wikipedia EN ricorda che il teorema porta il nome di Talete per tradizione: lo conoscevano già babilonesi ed egizi, e la dimostrazione scritta più antica che conosciamo si trova negli Elementi di Euclide. Il racconto di Diogene Laerzio, tramite Apollodoro, narra che Talete sarebbe morto assistendo ai giochi della 58ª Olimpiade, per un colpo di calore e la sete: è un episodio che arriva dall’antichità, lontano da una conferma indipendente.

Chi vuole collocare Talete nel suo tempo può leggere il contesto dell’antica Grecia; chi invece vuole proseguire con gli altri strumenti per lavorare sui triangoli trova la trigonometria e la geometria analitica.