Teorema di Bayes: cos'è e come si usa la probabilità condizionata

La probabilità condizionata risponde a una domanda precisa: quanto diventa probabile un evento, una volta che sappiamo che un altro si è già verificato? Si scrive P(A|B), dove la barra verticale si legge “dato che”, e si ottiene dividendo la probabilità che A e B si verifichino entrambi per la probabilità di B preso isolatamente. È un concetto che si incontra già studiando il calcolo della probabilità e che si appoggia spesso alle regole del conteggio viste nel calcolo combinatorio, perché contare i casi favorevoli e quelli possibili è il primo passo per calcolare qualunque probabilità condizionata.

Il teorema di Bayes nasce per rovesciare proprio questa probabilità condizionata. Secondo la Stanford Encyclopedia of Philosophy, il teorema parte da quanto è probabile un certo dato se un’ipotesi fosse vera — P(dato|ipotesi) — e arriva alla probabilità opposta: quanto è probabile l’ipotesi, visto quel dato osservato — P(ipotesi|dato). Sono due probabilità condizionate diverse: sapere quanto è probabile un sintomo se una persona è malata non dice automaticamente quanto è probabile che una persona sia malata se ha quel sintomo.

La formula, nella notazione usata da Wikipedia, è:

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

Qui A è l’ipotesi che vogliamo valutare e B è il dato che abbiamo osservato. Per usarla servono tre ingredienti: la probabilità condizionata nota P(B|A), la probabilità “di partenza” dell’ipotesi P(A) e la probabilità complessiva del dato osservato P(B).

Probabilità condizionata nel caso di un test diagnostico

Il caso più citato per capire il teorema di Bayes è un test medico. Un’applicazione reale, citata dalla Stanford Encyclopedia of Philosophy, è lo screening: sensibilità e specificità di un test diagnostico, cioè i tassi di veri positivi e veri negativi, insieme alla prevalenza della malattia nella popolazione testata, permettono di calcolare quanto è davvero probabile essere malati quando il test risulta positivo. Lo stesso principio vale per tanti problemi di probabilità e statistica in cui un dato osservato deve essere ricondotto a una causa.

Esempio pratico: immaginiamo, come nell’esempio di Lumen Learning / OpenStax, un campione di 1.000 persone con un’incidenza della malattia dello 0,1%. Significa aspettarsi che solo 1 persona del campione sia davvero malata, e le altre 999 siano sane. Supponiamo che il test abbia un tasso di falsi positivi del 5%: applicato alle 999 persone sane, ne segnala erroneamente come positive circa 50. A questo punto il test avrà prodotto, in tutto, circa 51 risultati positivi: i 50 falsi allarmi più, nella maggior parte dei casi, la persona davvero malata. Su quei 51 positivi, solo 1 è davvero malato: la probabilità di essere davvero malati dato un test positivo è quindi circa 1/51, cioè circa il 2%.

Istintivamente si tende ad associare un risultato positivo a un’alta probabilità di malattia. Il test viene applicato a moltissime persone sane (999 su 1.000): anche un margine di errore piccolo, applicato a un gruppo così grande, finisce per generare più segnalazioni sbagliate che casi veri. È l’effetto della rarità della malattia nella popolazione testata, il tipo di calcolo che il teorema di Bayes permette di fare con rigore invece che a intuito.

Un po’ di storia, con una data incerta

Secondo la Stanford Encyclopedia of Philosophy, il pastore inglese Thomas Bayes intuì per primo l’importanza del teorema, in un saggio pubblicato postumo col titolo “An Essay Toward Solving a Problem in the Doctrine of Chances”, datato 1764. Wikipedia riporta invece che il saggio fu pubblicato nel 1763, con un titolo scritto “Towards” invece di “Toward”: sull’anno di pubblicazione le due fonti divergono.

Bayes non pubblicò il lavoro in vita. Fu la sua famiglia, dopo la sua morte, a consegnare le carte all’amico Richard Price, ministro religioso e filosofo con solide basi matematiche. Price curò il manoscritto inedito per due anni, prima che fosse letto alla Royal Society il 23 dicembre 1763. Qualche anno dopo, nel 1774, il matematico francese Pierre-Simon Laplace arrivò allo stesso risultato per conto proprio, ignorando il lavoro precedente di Bayes, e lo estese.

Chi vuole ripassare anche le basi degli insiemi numerici su cui si costruiscono probabilità e statistica trova lì un buon punto di partenza complementare.