Calcolo della probabilità: le formule di base e dove inganna l'intuito

Calcolare una probabilità, nel caso più semplice, significa contare due numeri e farne un rapporto. OpenStax, nel suo manuale di statistica introduttiva, definisce la probabilità classica di un evento come il rapporto tra il numero dei risultati favorevoli e il numero totale dei risultati possibili, a condizione che tutti i risultati dello spazio campionario abbiano la stessa chance di verificarsi. Con un dado equo a sei facce, la probabilità di ottenere un numero almeno pari a cinque è 2/6: i risultati favorevoli sono due, il 5 e il 6, su sei possibili in totale.

La formula della probabilità classica

Il calcolo classico non richiede lanciare nulla: basta contare. Serve però una condizione precisa, che vale per il dado equo ma non per ogni situazione: ogni risultato possibile deve avere la stessa probabilità degli altri. Quando questa condizione è vera, la formula è:

Esempio pratico: lanciando un dado equo, la probabilità di ottenere un numero pari (2, 4 o 6) si calcola allo stesso modo: tre casi favorevoli su sei possibili, quindi 3/6.

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

C’è un’altra strada per arrivare allo stesso numero, e passa dall’osservazione invece che dal conteggio a tavolino. La probabilità frequentista è la frequenza relativa con cui un evento si verifica su un numero elevato di prove ripetute. OpenStax collega le due definizioni mostrando che, lanciando davvero un dado molte volte, la frequenza osservata del risultato “numero almeno pari a cinque” si avvicina al valore teorico 2/6 calcolato con la probabilità classica. Per un quadro più ampio su come un singolo rapporto come questo si inserisce nella raccolta e nella sintesi dei dati, probabilità e statistica è un buon punto di partenza.

La legge dei grandi numeri, così come la presenta il testo, dice che aumentando il numero di ripetizioni di un esperimento la frequenza relativa osservata si avvicina sempre di più alla probabilità teorica calcolata in anticipo. Con poche prove la frequenza oscilla parecchio; con molte prove si stabilizza. Le due definizioni di probabilità, quella classica calcolata a priori e quella frequentista osservata sul campo, convergono sullo stesso valore quando le prove aumentano.

Eventi indipendenti: la regola della moltiplicazione e dell’addizione

Due eventi sono indipendenti quando sapere che uno dei due si è verificato non cambia la probabilità che si verifichi l’altro. OpenStax formalizza l’indipendenza con tre condizioni equivalenti, tra cui la regola della moltiplicazione: la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi A e B è il prodotto delle loro probabilità singole, P(A)×P(B).

Nell’esempio del testo, con P(G)=0,6, P(H)=0,5 e P(G e H)=0,3, il prodotto delle due probabilità singole (0,6×0,5=0,3) coincide con la probabilità dell’intersezione: una conferma che gli eventi G e H sono indipendenti.

Quando invece serve la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi, entra in gioco la regola dell’addizione. OpenStax la formula come la somma delle probabilità singole meno la probabilità della loro intersezione, P(A)+P(B)−P(A e B): la sottrazione serve a non contare due volte i casi in cui entrambi gli eventi si verificano insieme.

Gambler’s fallacy: quando il passato non conta, ma sembra contare

Chi lancia una moneta equa e ottiene testa cinque volte di fila, spesso si aspetta che la sesta volta sia “più probabile” la croce. Secondo OnlineStatBook, questo è un errore che nasce dal credere che il risultato di un evento indipendente dal passato sia influenzato dagli esiti precedenti della stessa sequenza: è la gambler’s fallacy. In realtà, anche dopo cinque teste consecutive la probabilità che il lancio successivo dia croce resta del 50%, perché i lanci sono eventi indipendenti e non esiste un turno che una croce debba rispettare.

La fonte usa il caso di due lanci per mostrarlo: il risultato del primo lancio non cambia in alcun modo la probabilità del secondo. La sequenza di cinque teste non lascia traccia nella moneta; la moneta non ricorda.

Il paradosso del compleanno: perché basta un’aula

Un caso in cui l’intuito sbaglia nella direzione opposta è il paradosso del compleanno. Harvey Mudd College lo presenta così: con 23 persone in una stanza, la probabilità che almeno due condividano lo stesso giorno di compleanno supera già il 50%. La dimostrazione calcola prima la probabilità che tutte le 23 persone abbiano compleanni diversi, moltiplicando le probabilità via via decrescenti che ogni nuova persona aggiunta non ripeta un giorno già occupato dalle precedenti; poi ottiene la probabilità di almeno una coincidenza sottraendo questo valore da 1. Con 23 persone, questa probabilità supera già il 50%. Con 57 persone, la stessa fonte riporta che la probabilità di almeno due compleanni coincidenti sale oltre il 99%.

L’intuito sottostima questo numero perché immagina il confronto sbagliato: pensa a una singola persona contro le altre 22, un confronto che userebbe davvero poche possibilità di coincidenza. Il calcolo, invece, considera tutte le coppie possibili all’interno del gruppo: con 23 persone il numero di coppie da controllare è già alto, molto più alto di 23. Più coppie si controllano, più aumenta la chance che almeno una di esse coincida.

Base-rate fallacy: quando la descrizione vince sui numeri

Il terzo caso riguarda il modo in cui si integrano le informazioni con le proporzioni di partenza. Uno studio pubblicato su PubMed Central definisce la base-rate fallacy, o base-rate neglect, come la tendenza delle persone a non integrare correttamente le probabilità a priori — il tasso di base di un evento in una popolazione — con le nuove informazioni ricevute, come richiederebbe il teorema di Bayes.

Il problema classico usato per misurare questo errore, derivato dall’esperimento di Kahneman e Tversky e qui ripreso dalla stessa fonte, presenta una descrizione stereotipata di una persona pescata a caso da un gruppo composto, per esempio, da 30 ingegneri e 70 avvocati: la descrizione corrisponde allo stereotipo del gruppo più piccolo, quello degli ingegneri. I partecipanti all’esperimento tendono a ignorare la proporzione 30 contro 70 e a giudicare solo sulla somiglianza con lo stereotipo — lo stesso automatismo che gli stereotipi e i pregiudizi producono ben oltre un’aula di statistica.

Esempio pratico: in un gruppo di 30 ingegneri e 70 avvocati, anche una descrizione che sembra “da ingegnere” lascia comunque più probabile, per pura proporzione, che la persona pescata a caso sia un avvocato — a meno che la descrizione non sia così specifica da ribaltare quel peso iniziale.

L’abitudine di fondo, in tutti e tre i casi, è la stessa che sta al cuore del metodo scientifico: controllare un’affermazione sui numeri raccolti in anticipo, invece di fidarsi della versione che in quel momento convince di più.