Pi greco: cos'è e perché non finisce mai

Un rapporto che non cambia mai

Prendi un cerchio qualsiasi, piccolo come una moneta o largo come una pista d’atletica. Dividi la lunghezza della circonferenza per quella del diametro, la linea che passa dritta per il centro da un lato all’altro. Il risultato è sempre lo stesso numero, circa 3,14159, qualunque sia la misura del cerchio di partenza. Quel numero si chiama pi greco e si scrive con la lettera greca π: secondo Wolfram MathWorld, π è definito proprio come il rapporto C/d tra la circonferenza C di un cerchio e il suo diametro d. Sono proprio le cifre 3,14 a dare la data del Pi Day, la ricorrenza che si festeggia ogni 14 marzo.

Il simbolo che oggi tutti riconoscono non è antico quanto il concetto. Il primo a usare la sola lettera π per questo rapporto fu il matematico gallese William Jones, nel 1706, nella sua opera Synopsis Palmariorum Matheseos, secondo Wikipedia e MacTutor. Il simbolo si diffuse poi come standard in Occidente nella prima metà del Settecento, grazie al lavoro di Leonhard Euler.

Un numero che non si lascia scrivere in frazione

Qui arriva la parte meno intuitiva, ed è anche la risposta a perché le cifre di π non finiscono mai: π è un numero irrazionale. Significa che non esiste nessuna coppia di numeri interi che, messi in frazione, diano esattamente π. A dimostrarlo fu il matematico svizzero Johann Heinrich Lambert, nel 1761, usando una rappresentazione a frazioni continue della funzione tangente, secondo Wolfram MathWorld e MacTutor (University of St Andrews); il risultato venne confermato da Legendre nel 1794. Chi studia la trigonometria incontra la tangente proprio in quel tipo di dimostrazioni, anche se a scuola la si usa per altro, per i triangoli.

Essere irrazionale ha una conseguenza diretta sulle cifre decimali: se π fosse una frazione, prima o poi le sue cifre dopo la virgola inizierebbero a ripetersi in un ciclo, come succede per 1/3 = 0,333… o per 1/7. Non essendolo, secondo la NASA le cifre decimali di π sono infinite e non seguono nessuno schema che si ripete. Non è un caso isolato nella matematica: anche la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, per una ragione diversa ma con la stessa conseguenza, infinite cifre senza periodo.

Oltre l’irrazionalità: un numero trascendente

Lambert chiuse una domanda, ma ne aprì un’altra: π è irrazionale, ma è comunque la soluzione di qualche equazione con i numeri? Nel 1882 il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann rispose di no. Dimostrò che π è trascendente, cioè non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali, secondo Wikipedia. La conseguenza pratica di questo risultato, diretta sui disegni con riga e compasso, è che la quadratura del cerchio, costruire con riga e compasso un quadrato con la stessa area di un cerchio dato, non si può fare: un problema che i geometri avevano cercato di risolvere per secoli, nella tradizione della geometria euclidea, risultò impossibile per la natura stessa di π.

Da Archimede ai computer: come si calcola π

Esempio pratico: per disegnare un cerchio su un foglio da disegno tecnico, un ingegnere non usa 314.000 miliardi di cifre di π: gliene bastano dieci, o anche meno. Le cifre in più servono ai matematici per testare i computer e gli algoritmi di calcolo, non per disegnare cerchi più precisi.

Molto prima dei computer, bastava un poligono.

Già verso il 250 a.C. Archimede aveva trovato un modo per restringere il valore di π senza conoscerlo con esattezza, secoli prima di Lambert e Lindemann. Disegnò un esagono regolare dentro e fuori un cerchio, e raddoppiò via via il numero dei lati fino ad arrivare a un poligono di 96 lati: il poligono interno dà un valore un po’ più piccolo di π, quello esterno un po’ più grande, e stringendo i due poligoni il margine di errore si riduce. Con questo metodo Archimede dimostrò che 223/71 < π < 22/7, un risultato corretto per le prime due cifre decimali, secondo Wikipedia e Wolfram MathWorld. Lo stesso principio del racchiudere una figura tra due misure note torna anche nel teorema di Pitagora, dove un triangolo rettangolo lega tre lunghezze con una relazione fissa.

Con l’arrivo dei computer il metodo di Archimede è stato sostituito da algoritmi molto più rapidi, ma l’idea di fondo, avvicinarsi a un numero che non si può scrivere per intero, è rimasta la stessa. Secondo Wikipedia (“Chronology of computation of π”), Kevin O’Brien, Divyansh Jain e Brian Beeler hanno portato il calcolo a 314.000 miliardi di cifre decimali al 23 novembre 2025, con il programma y-cruncher, in 110 giorni di elaborazione continua. Sono numeri che servono più a testare l’hardware e gli algoritmi che a fare matematica nuova: per quasi ogni calcolo reale, dalla scuola all’ingegneria, bastano poche decine di cifre.

Gli scienziati e gli ingegneri del Jet Propulsion Laboratory della NASA usano regolarmente π, con un numero di cifre molto più piccolo di quello del record, per studiare lune, pianeti, stelle e altri corpi sferici, e per calcolare le orbite di satelliti e sonde spaziali.