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Equazioni differenziali del secondo ordine: come si risolvono | ||||||||||||||||
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Equazioni differenziali del secondo ordine: come si risolvonoCosa stampare Con "Margini: predefiniti" compaiono anche i numeri di pagina. SlideScegli il taglio Lampo10 slideIl filo essenziale, per presentarlo in classeCompleta15 slideTutti i capitoli e gli approfondimentiTutte e due hanno le note del relatore. In 30 secondi lettura lampoUn'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma ay''+by'+cy=r(x), con la derivata seconda della funzione incognita. Quando r(x) è nullo l'equazione è omogenea e si risolve associandole l'equazione caratteristica ar²+br+c=0: il segno del suo discriminante stabilisce se le radici sono reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate, e da quel segno dipende la forma della soluzione generale. Quando r(x) non è nullo l'equazione è non omogenea, e alla soluzione dell'omogenea associata si somma una soluzione particolare, trovata con il metodo dei coefficienti indeterminati. Lo stesso schema descrive, in fisica, il moto di una massa attaccata a una molla. Punti Chiave
L'ApprofondimentoIl Recap sulle equazioni differenziali ne spiega la definizione e l’ordine in generale; qui ci si ferma su un caso preciso, quello del secondo ordine a coefficienti costanti, e sul metodo per risolverlo. L’equazione caratteristicaUn’equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti si scrive ay”+by’+cy=0. Il metodo di soluzione parte da un tentativo preciso, y=e^(rx): è l’unica funzione che si riproduce identica a ogni derivata, quindi y’=re^(rx) e y”=r²e^(rx). Sostituendo nell’equazione e raccogliendo e^(rx), che non è mai zero, resta l’equazione caratteristica ar²+br+c=0: un problema di equazioni differenziali diventa un problema di algebra, trovare le radici di un polinomio di secondo grado. Tre casi, secondo il discriminanteLe radici dell’equazione caratteristica determinano la forma della soluzione generale, e il segno del discriminante b²-4ac stabilisce quale dei tre casi si presenta. Con discriminante positivo le radici r1 e r2 sono reali e distinte, e la soluzione generale è y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x). Con discriminante nullo c’è un’unica radice reale, doppia: una sola famiglia e^(r1x) non basta a coprire tutte le soluzioni dell’equazione, e serve una seconda soluzione indipendente, ottenuta moltiplicando per x; la soluzione generale diventa y=(C1+C2x)e^(r1x). Con discriminante negativo le radici sono complesse coniugate, p±qi, e la soluzione generale è y=e^(px)(C1 cosqx+C2 sinqx): un’oscillazione tra seno e coseno, modulata dall’esponenziale e^(px).
Un’applicazione fisica, il sistema massa-mollaLo stesso tipo di equazione governa un corpo appeso a una molla: la sua posizione cambia nel tempo seguendo esattamente lo schema visto sopra, applicato a un fenomeno fisico. Il segno del discriminante stabilisce se quel corpo torna fermo oscillando intorno al punto di riposo, oppure avvicinandosi senza mai oscillare. Il caso non omogeneoUn’equazione lineare del secondo ordine diventa non omogenea quando a destra dell’uguale compare un termine r(x) diverso da zero: ay”+by’+cy=r(x). La soluzione generale nasce dall’unione di due contributi: la soluzione generale dell’equazione omogenea associata (anche detta “complementare”, ottenuta ponendo r(x)=0) e una soluzione particolare qualunque dell’equazione non omogenea. Il metodo dei coefficienti indeterminatiIl metodo dei coefficienti indeterminati cerca la soluzione particolare tentando una forma nella stessa famiglia di funzioni del termine noto, con coefficienti ancora sconosciuti, che si scoprono sostituendo il tentativo nell’equazione. Per un termine noto costante si tenta una costante A; per un polinomio di primo grado ax+b si tenta un polinomio generale dello stesso grado, Ax+B; per un esponenziale ae^(kx) si tenta Ae^(kx); per una combinazione di seno e coseno, a cosqx+b sinqx, si tenta A cosqx+B sinqx. Se il tentativo di base coincide con un termine già presente nella soluzione dell’omogenea associata, va corretto moltiplicandolo per x, lo stesso accorgimento visto per la radice doppia.
Il metodo richiede di riconoscere, nel termine noto, una delle famiglie di funzioni previste (costanti, polinomi, esponenziali, seno e coseno) o una loro combinazione; fuori da queste famiglie, servono altri strumenti, come quelli discussi nel Recap sull’analisi matematica e, per le equazioni esponenziali, nel Recap dedicato. PresentazioneSlide pronte da scaricare e fare tue in PowerPoint o Google Slides, con le note del relatore. Scegli il taglio Lampo o quello Completo.                Falsi miti
Mappa concettualeTrascina lo sfondo per muoverti e i nodi per riposizionarli; usa − e + per chiudere e aprire i rami. 
Quiz: mettiti alla provaRispondi alle domande per verificare quanto hai imparato: riceverai subito la correzione e una breve spiegazione. Voto 0/10 0/5
FlashcardsTocca la carta per girarla e verifica se ricordi la risposta, poi passa alla successiva. 1 / 8 Spiegalo con parole tueIl test definitivo: se sai spiegarlo con parole semplici, lo hai capito davvero. Scrivi la tua spiegazione, poi confrontala col Recap. La tua spiegazione resta salvata solo su questo dispositivo.
Domande e risposteCome si risolve un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti?Se è omogenea, si associa l'equazione caratteristica ar²+br+c=0 e si costruisce la soluzione generale dalle sue radici. Se è non omogenea, a quella soluzione si somma una soluzione particolare trovata col metodo dei coefficienti indeterminati. Cosa cambia tra radici reali distinte, radice doppia e radici complesse?Cambia la forma della soluzione generale: due esponenziali distinti nel primo caso, un esponenziale moltiplicato anche per x nel secondo, un'oscillazione di seno e coseno modulata da un esponenziale nel terzo. Che differenza c'è tra un'equazione omogenea e una non omogenea?In un'equazione omogenea il termine noto a destra dell'uguale è zero. In un'equazione non omogenea non lo è, e la soluzione generale richiede un pezzo in più, la soluzione particolare. Cos'è il metodo dei coefficienti indeterminati?Si sceglie per la soluzione particolare una forma nella stessa famiglia del termine noto, con coefficienti da scoprire, e si trovano sostituendo quel tentativo nell'equazione di partenza. A cosa serve in pratica risolvere queste equazioni?Un'equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti modella anche un corpo appeso a una molla: il segno del discriminante, lo stesso visto nel caso omogeneo, decide il tipo di ritorno all'equilibrio del sistema. Ogni Recap passa da una revisione indipendente prima della pubblicazione. |