Principio di indeterminazione di Heisenberg: che cosa dice e la formula

Nella meccanica classica, quella delle leggi di Newton, un corpo ha in ogni istante una posizione e una velocità precise. Chi le conosce entrambe, insieme alle forze in gioco, può calcolare in teoria tutto il moto futuro. Nel 1927 Werner Heisenberg sostenne che per una particella come l’elettrone il conto non torna: posizione e quantità di moto esatte non si possono conoscere nello stesso momento.

Che cosa afferma il principio di indeterminazione

La Stanford Encyclopedia of Philosophy lo riassume così, in prima approssimazione: posizione e quantità di moto (il prodotto di massa per velocità) non possono ricevere entrambe un valore esatto nello stesso istante. Di ciascuna si può fissare soltanto un intervallo di incertezza, e i due intervalli non si lasciano ridurre insieme a piacere.

La Treccani lo inquadra come uno dei principi fondamentali della meccanica quantistica e lo formula in generale per le grandezze coniugate, quelle i cui operatori non commutano. Il caso tipico è la coppia formata da una coordinata di posizione e dalla quantità di moto lungo la stessa direzione, x e pₓ. Da dove venga la non commutazione lo spiega l’algebra delle matrici con cui Heisenberg aveva costruito la teoria nel 1925, poi sviluppata insieme a Max Born e Jordan: lì a per b non sempre dà b per a.

Una grandezza presa da sola, precisa la Treccani, si può misurare con la precisione che si vuole. Il vincolo nasce quando se ne chiedono due coniugate insieme.

Esempio pratico: si immagina di chiudere un elettrone in una regione sempre più piccola, come dentro un atomo. L’incertezza sulla posizione scende, e la formula obbliga quella sulla quantità di moto a salire. HyperPhysics usa proprio questo ragionamento per stimare l’energia di confinamento nell’atomo e ottiene appena 0,06 eV. Il sito spiega che il valore esce così basso perché il calcolo trattiene l’elettrone lungo una sola dimensione e lo lascia libero nelle altre.

La formula: Δx · Δp ≥ ħ/2

Heisenberg, nel 1927, ragionò solo con esempi qualitativi. La prima formulazione matematica esatta la diede nello stesso anno Kennard:

Δx · Δp ≥ ħ/2

Si legge così: l’incertezza sulla posizione moltiplicata per l’incertezza sulla quantità di moto è sempre maggiore o uguale a ħ mezzi. Il simbolo ħ, «h tagliato», è la costante di Planck ridotta, cioè h divisa per 2π. Nei valori raccomandati CODATA 2022 pubblicati dal NIST vale 1,054571817… × 10⁻³⁴ joule secondo (J·s), un valore esatto.

Nella disuguaglianza di Kennard Δx e Δp sono deviazioni standard: dicono quanto si sparpagliano i valori di posizione e di quantità di moto se si ripete la misura su tanti sistemi preparati allo stesso modo, un concetto che viene dritto dalla probabilità e statistica. La Stanford Encyclopedia of Philosophy osserva che legare questa dispersione all’imprecisione di uno strumento, per esempio al potere risolutivo di un microscopio, è tutt’altro che facile. Nel 1929 Robertson estese la disuguaglianza a qualunque coppia di grandezze osservabili.

Il nome è venuto dopo. Probabilmente il primo autore influente a parlare di «principio» fu Eddington, nel 1928; Heisenberg pare non averlo mai adottato e preferiva dire relazioni di indeterminazione, in tedesco Unbestimmtheitsrelationen.

	Heisenberg (1927)	Kennard (1927)
Forma	ragionamento con esempi qualitativi	disuguaglianza matematica esatta
Che cosa sono le incertezze	imprecisione legata alla misura, come nel microscopio	deviazioni standard dei risultati
Oggetto	ciò che si può sapere e prevedere dell’elettrone	la dispersione in uno stato quantistico
Estensione	anche a energia e tempo	generalizzata da Robertson nel 1929

Il microscopio a raggi gamma

Il 23 febbraio 1927 Heisenberg descrisse il nuovo principio in una lettera di 14 pagine a Wolfgang Pauli, e a marzo spedì l’articolo per la pubblicazione. Il titolo tedesco conteneva la parola anschaulich, che alla lettera vuol dire visualizzabile.

Per rendere l’idea, Heisenberg immaginò di localizzare un elettrone al microscopio. La precisione di un microscopio dipende dalla lunghezza d’onda della luce usata, quindi in linea di principio basta una luce cortissima, come i raggi gamma. Qui entra in scena l’effetto Compton: il fotone urta l’elettrone, l’elettrone rincula e la sua quantità di moto cambia. Più corta è la lunghezza d’onda, più forte è il colpo. Ne seguiva, nell’articolo, che fissare meglio la posizione lascia meno nota la quantità di moto, e lo stesso vale a parti invertite. Per gli autori della voce della Stanford Encyclopedia, in questa prima forma il principio riguarda ciò che possiamo sapere dell’elettrone.

Esempio pratico: per vedere meglio dove si trova l’elettrone serve luce di energia più alta. Quella stessa luce, però, gli dà una spinta più forte, e la sua quantità di moto dopo l’urto diventa più incerta.

Niels Bohr lesse l’articolo quando era già partito per l’editore, e le sue critiche finirono in un’aggiunta in bozza. Per lui il nodo del microscopio stava altrove: quel cambiamento della quantità di moto non si può determinare con precisione nello stesso esperimento. Trovò errori nel ragionamento, ma riconobbe che il principio era corretto. Heisenberg ne diede una versione migliorata nelle lezioni di Chicago del 1930.

De Broglie e le onde di materia

Il principio si capisce meglio partendo dal dualismo onda-particella. Già della luce si sapeva che si comporta sia come onda sia come flusso di particelle. Nel 1924, secondo la Fondazione Nobel, Louis de Broglie propose che lo stesso valesse per le particelle come gli elettroni (HyperPhysics colloca la proposta intorno al 1923). Ci arrivò per analogia con la quantità di moto del fotone: a una particella corrisponde una lunghezza d’onda λ = h/p, la costante di Planck divisa per la quantità di moto.

Secondo il discorso di presentazione del Nobel del 1929, quando de Broglie avanzò l’idea nessun fatto conosciuto la reggeva. La conferma arrivò da fasci di elettroni riflessi da cristalli o fatti passare attraverso lamine sottili di metallo, che davano diffrazione come la luce. HyperPhysics cita come conferma l’esperimento di Clinton Davisson e Germer. De Broglie ebbe il Nobel per la fisica nel 1929, Davisson e George Paget Thomson nel 1937 per la scoperta sperimentale della diffrazione degli elettroni da parte dei cristalli.

HyperPhysics indica il dualismo e l’ipotesi di de Broglie come i due passaggi preliminari per capire il principio. Un’onda perfettamente regolare distribuisce la probabilità di trovare l’elettrone su tutto lo spazio, e allora la sua posizione è del tutto indeterminata. Per una palla da baseball la lunghezza d’onda di de Broglie è invece piccolissima, e per questo negli oggetti di tutti i giorni la natura ondulatoria non si vede mai.

Limite della natura o della conoscenza?

HyperPhysics fa nascere il principio dal carattere ondulatorio della descrizione quantistica, e scrive che l’indeterminazione resterebbe anche con apparecchi ideali. Anche per l’articolo dell’APS l’indeterminazione appartiene alla meccanica quantistica in sé, qualunque sia l’apparecchio usato.

La Stanford Encyclopedia of Philosophy ricorda che il significato delle relazioni è stato discusso a lungo, e che il dibattito tra le letture possibili non si è mai chiuso del tutto: limite agli esperimenti, alla conoscenza, ai concetti, oppure alla realtà stessa. Dipende molto da come si interpreta la meccanica quantistica nel suo insieme. Heisenberg e Bohr negavano che una singola particella abbia insieme posizione e quantità di moto precise; l’interpretazione di de Broglie e Bohm lo afferma. Per gli stessi autori è certamente sbagliata l’idea, frequente nei testi degli anni Trenta, che Heisenberg avesse dimostrato l’impossibilità di attribuire alla particella valori definiti. Anche la lettura basata su errore di misura e disturbo è rimasta controversa: nel 2003 Ozawa sostenne che, con le sue definizioni, la relazione errore-disturbo di Heisenberg è violata, e se questo colga davvero il ragionamento del microscopio è a sua volta oggetto di disputa.

Bohr chiamò complementarità la sua posizione. Del dualismo onda-particella si occupava da prima della meccanica quantistica moderna, e ne abbozzò l’idea all’inizio del 1927, in vacanza sugli sci in Norvegia, mentre Heisenberg scriveva l’articolo. Il nucleo è che uno stesso esperimento non può definire insieme posizione e quantità di moto; per lui queste due, come tempo ed energia, sono grandezze complementari. Nei lavori successivi presentò sempre le relazioni di indeterminazione come espressione simbolica della complementarità.

Le prove di laboratorio hanno tardato. Nel 1974 Jammer notava che gli esperimenti abbastanza precisi da metterle davvero alla prova erano ancora pochi; le conferme con incertezze vicine al limite quantistico sono arrivate con lavori del 1983, del 1985 e del 2002.

Il principio di indeterminazione tra energia e tempo

Nello stesso articolo del 1927 Heisenberg ricavò relazioni analoghe per energia e tempo. La Treccani le scrive come ΔE · ΔT ≥ ħ/2, dove ΔT è la durata della misura dell’energia. La Stanford Encyclopedia invita alla prudenza: secondo i suoi autori Heisenberg faceva sembrare l’estensione più semplice di quanto sia, e il ruolo della variabile tempo nei suoi esempi non è affatto chiaro. Un caso che la Treccani cita come esempio è lo stato stazionario: la sua energia si misura con un’incertezza piccola a piacere, purché la misura duri abbastanza.

Werner Heisenberg

Heisenberg nacque il 5 dicembre 1901 a Würzburg. Dopo il dottorato del 1923 fu assistente di Born a Gottinga e lavorò un anno con Bohr a Copenaghen. Nel 1925 costruì la prima meccanica quantistica coerente con un criterio preciso, ammettere nella teoria solo grandezze osservabili almeno in linea di principio; nel 1926 Erwin Schrödinger presentò la meccanica ondulatoria e dimostrò che le due teorie erano equivalenti.

Nell’autunno del 1927 divenne professore a Lipsia, il più giovane professore ordinario in Germania. Il Nobel per la fisica del 1932, ritirato nel 1933, gli fu assegnato per la creazione della meccanica quantistica, e la motivazione non nomina il principio di indeterminazione. Durante la Seconda guerra mondiale fu tra i responsabili del programma tedesco sulla fissione, che non arrivò alla bomba atomica; le sue scelte di quegli anni sono discusse da allora. Morì a Monaco di Baviera il 1° febbraio 1976.